Determinación del número de ceros de un polinomio (holomorfo) $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} $ en cada Cuadrante.

Question

Supongamos que $f(z)=z^4+2z^3+3z^2-z+2$ . Me gustaría poder determinar el número de ceros (sin utilizar un CAS) $f$ tiene en cada cuadrante.

Hace poco aprendí sobre el Principio de Argumentación y el Teorema de Rouche. Puedo utilizar el Teorema de Rouche para estimar el número de ceros de $f$ en un disco determinado restringido a uno de los cuadrantes, pero ¿cómo puedo saber qué disco utilizar?

La otra idea que se me ocurre es crear discos arbitrarios en el plano y aplicar el principio argumental para ver cuántos ceros $f$ tiene en cada disco, pero esto no parece una forma eficiente de hacerlo por la misma razón por la que no usaría el Teorema de Rouche.

¿Existe alguna forma eficaz de determinar cuántos ceros hay en cada cuadrante? Busco una técnica lo suficientemente general como para poder aplicarla a cualquier polinomio.

Answer 1

Sea $\Gamma _1: z=x$ $(0\le x\le R)$ , $C: z=Re^{i\theta } $ $( 0\le \theta \le \pi/2)$ y $\Gamma _2: z=i(R-y)$ $( 0\le y\le R)$ como en la Fig.1.
Observamos varios hechos:
(1) Para $z=x$ real, $f(x)=x^4+2x^3+3x^2-x+2>0 $ $(\, -\infty< x<\infty)$ ,
(2) Para un $z$ , $\arg f(z)=\arg z^4(1+o(1/z))=\arg z^4+\arg (1+o(1/z)) =4\arg z+\varepsilon $ ,
(3) Para $z=iy$ donde $y$ es positivo real, $\Im f(iy)=-2y^3-y<0$ .
A partir de estos hechos, $f(\Gamma _1), f(C)$ y $f(\Gamma _2)$ son como en la Fig.2 si $R$ es suficientemente grande. Rodean el origen una vez, lo que significa que el número de ceros de $f(z)$ dentro del contorno $\Gamma _1 \cup C \cup \Gamma _2$ es $1$ por el principio de argumentación.
Se pueden aplicar los mismos argumentos para el cuadrante II y el número de ceros de $f(z)$ en cuadrante II es $1$ . Si $\alpha $ es una raíz de $f(z)=0$ entonces $\overline{\alpha}$ es también una raíz de la misma. Por tanto, el número de ceros de $f(z)$ es $1$ en cada cuadrante.