Serie coseno con coeficientes no negativos, que es continua en$0$ pero no en todas partes

Question

Hay un coseno de la serie con los no-negativo, que es continua en a $x=0$, pero no son continuas en todas partes?

Más específicamente, ¿ no existir $a_n\geq0$ tal que

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) $$

• converge para $x=0$
• converge en casi todas partes
• es continua en a $x=0$
• no es una función continua?

Para motiviation, ver a esta cuestión.

Answer 1

Si la serie converge en$x=0$, entonces$\sum_na_n$ converge. Y desde$a_n\ge 0$, se sigue que$(a_n)\in\ell^1$. Pero luego la serie converge en cada$x$ y define una función continua$f$. Para ver lo último, permita que$(x_k)$ sea una secuencia en$\Bbb R$ que converja en$x\in\Bbb R$. Luego $$ f (x_k) -f (x) = \ sum_na_n (\ cos (nx_k) - \ cos (nx)). $$ Ahora, el$n$ - th summand converge a cero ya que$k\to\infty$ está limitado por$2|a_n|$. Por lo tanto, según el teorema de convergencia mayorizado de Lebesgue, se deduce que$f(x_k)\to f(x)$ como$k\to\infty$.

Answer 2

Para cada$n,$$|a_n\cos (nx)|\le a_n,$ y se nos da$\sum a_n <\infty.$. Con la prueba M de Weierstrass,$\sum a_n\cos (nx)$ converge uniformemente en$\mathbb R.$, ya que cada suma es continua en$\mathbb R,$ así que es$f(x).$ Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es no.

Answer 3

Si$f(x)$ es continuo en$x=0$, entonces sabemos

ps

Esto implica inmediatamente que existe infinitamente$$ \exists L \land \forall \epsilon \exists \delta \gt 0 \ \land \ if \ |x| \lt \delta \ then \ |f(x)-L| \lt \epsilon$% tal que$x \neq 0$.