Intersección de la $p$ -silencio y $q$ -subgrupos bajos del grupo $G$

Question

¿Qué podemos decir de la intersección de la $p$ -silencio y $q$ -subgrupos bajos del grupo $G\;$ ?

No es necesario que $p=q$ .

¿Existen afirmaciones generales sobre las intersecciones de los subgrupos de silos?

¡Puede darme condiciones restringidas, esto también es bienvenido !

Answer 1

Permitir$R = P\cap Q$, donde$\;P\leq G$ un subgrupo p-sylow y$Q\leq G$ es un subgrupo q-sylow, y$p\neq q$.

Entonces, para cualquier$r \in R$,$r$ tiene una potencia igual a$p$ e igual a una potencia de$q$.

¿A qué se debe$R$ "?

No se puede decir lo mismo sobre el caso$p = q$, para$\;p, q$ prime.

Answer 2

La intersección de dos diferentes Sylow $p$-subgrupos de la misma prime $p$ es menos predecible. Si un grupo finito $G$ normal $p$-subgrupo $U,$ $U$ está contenida en cualquiera de Sylow $p$-subgrupo de $G.$ es muy difícil dotar de las condiciones precisas para garantizar la existencia de dos Sylow $p$-subgrupos $P_{1}$ $P_{2}$ tal que $P_{1} \cap P_{2} = U.$ Un teorema de J. Brodkey afirma que existen subgrupos si $G/U$ ha Abelian Sylow $p$-subgrupos. ut, por ejemplo hay un grupo finito $G$ $|G| = 144$ tal que $G$ no tiene no-identidad normal $2$-subgrupo, pero no existen Sylow $2$-subgrupos $P_{1}$ $P_{2}$ $G$ $P_{1} \cap P_{2} = 1.$ ( debido a $|G| < |P_{1}||P_{2}|$). El grupo $G$ en este ejemplo tiene un semi-diedro Sylow $2$-subgrupo.

Answer 3

Sabemos que la intersección de dos Sylow $p$ -subgrupos para el mismo primo $p$ es una potencia primera. Sin más datos, no hay nada más que decir. De hecho, para cualquier número entero $n \geq 1$ podemos encontrar un grupo finito $G$ con las siguientes propiedades:

1. El Sylow $p$ -subgrupos de $G$ tener orden $p^n$ .
2. Para cualquier $0 \leq i \leq n$ existe Sylow $p$ -subgrupos $P$ y $Q$ tal que $P \cap Q$ tiene orden $p^i$ .

Para construir este tipo de $G$ Primero dejemos que $q$ sea un primo tal que $q \equiv 1 \mod{p}$ y $q > p$ y $q > n$ . La existencia de tales $q$ se desprende de Teorema de Dirichlet .

Dejemos que $T$ sea el grupo no abeliano de orden $pq$ . Definir $G = T \times T \times \ldots \times T$ , donde $T$ aparece en el producto directo exactamente $n$ tiempos. Ahora $T$ tiene exactamente $q$ Sylow $p$ -subgrupos, por lo que dejemos que $P_1, P_2, \ldots, P_n, P$ sean distintos Sylow $p$ -subgrupos de $T$ . Sea

\begin{align*} Q_0 &= P \times P \times P \times \ldots \times P \\ Q_1 &= P_1 \times P \times P \times \ldots \times P \\ Q_2 &= P_1 \times P_2 \times P \times \ldots \times P \\ \ldots \\ Q_{n-1} &= P_1 \times P_2 \times P_3 \times \ldots \times P_{n-1} \times P \\ Q_n &= P_1 \times P_2 \times P_3 \times \ldots \times P_{n-1} \times P_n \end{align*}

Ahora cada $Q_i$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ y $|Q_i \cap Q_n| = p^i$ para todos $0 \leq i \leq n$ .