Búsqueda de una pedagogía eficaz para aprendizaje de límites, derivados y los conceptos en cálculo

Question

Recientemente he pasado alrededor de 15 a 20 horas a la semana de aprendizaje del cálculo, y tengo que admitir que el proceso, aunque me gusta, es aparentemente lento. Vuelvo a límite de preguntas, y yo puedo observar que mi algebraicas habilidades han avanzado, pero mi entendimiento conceptual de cómo resolver las preguntas que se siente al estar estancada. Como un ejemplo, se me pidió para encontrar el límite de $$\lim_{x\to -\infty}(x^4+x^5)$$

Cuando vi este me fue arrojado fuera, y me asomé a la solución - que dijo a eliminar el mayor poder de $x$. $$\lim_{x\to -\infty}x^5\left(\frac{1}{x}+1\right)$$

A partir de aquí, la lógica es que $$\lim_{x\to -\infty}x^5=-∞$$

y ya, $$\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{x}+1\right)=1$$

$$\lim_{x\to -\infty}x^5\left(\frac{1}{x}+1\right)=-\infty$$

Entiendo que esta solución una vez que he leído la respuesta, pero no suelen ver la ruta o la lógica para llegar a ella. Y esto me hace sentir como si mi forma de pensar hacia la resolución de problemas es que carecen de una base en los conceptos subyacentes de los límites.

Me gustaría presentar una analogía para intentar articular mejor lo que estoy diciendo. Cuando yo estaba aprendiendo a tocar la guitarra a mi maestro me pidió que me toman de la mano en una posición que no se siente totalmente cómodo, o natural, y me había traste notas con mi meñique, que era débil en comparación con mis otros dedos. La preocupación con el meñique era difícil y no entendía por qué debo utilizar cuando mi índice y el del medio y el dedo anular, donde mucho más fuerte. Pero con el tiempo mi meñique fortalecido, como lo hizo mi coordinación, y si yo no hubiera desarrollado el uso de mi meñique, que habría tenido un hándicap importante en mi forma de tocar.

Tal vez esto es una mala analogía. Pero lo que estoy tratando de determinar es si hay una mejor manera de aprender límites, derivadas de los conceptos de cálculo, y más en general temas relacionados con las matemáticas (teniendo en cuenta que cualquier método que se va requerir muchas horas de trabajo duro y esfuerzo).

Answer 1

Lo que estás buscando es una heurística para la solución de límites, y en el futuro, otros problemas en matemáticas y cálculo. Yo no soy consciente de los intentos hechos para escribir este tipo de heurísticas, pero puedo tratar de ofrecer algunos consejos generales:

1. No tenga miedo a "jugar" con el problema, en lugar de concentrarse en "problemas". Esto incluye la inserción de los números reales para conseguir una "sensación" para el problema, la reescritura, en otros términos, etc.
2. Práctica, práctica, Práctica - de la resolución de una gran cantidad de problemas, en ocasiones asoma en las soluciones, es perfectamente normal, y es realmente la mejor manera de recoger la correspondiente heurística en su propio. A menos que usted haya intentado resolver decenas o cientos de problemas, definitivamente no quiero decir que su forma de pensar es "insuficiente".

En cuanto a algunas heurísticas para el cálculo de límites:

1. Factoring - como en el ejemplo anterior, el factoring conduce a la claridad de ver las "partes" del problema, algunos finito y algunos infinito. Esto es especialmente útil para el agregado de las fracciones en el límite.
2. La división por la potencia más grande - Esto puede ayudar a resolver problemas de la forma: $$\lim_{x\rightarrow y}\frac{x^3+x}{x^4+x+1}$$
3. inverse - interruptor de $x$ a $1/x$, y el límite en consecuencia.
4. reemplazar - a Veces de conmutación de alguna función de $x$ con una variable diferente (es decir $y$) ayuda a "ver" lo que el límite está en, e.g: $$\lim_{x\rightarrow \infty}{(1+b/x)^x}, y = x/b$$

Hay muchos más, pero con la suficiente práctica, usted encontrará la que más te guste.