¿Qué es lo "opuesto" al axioma de elección?

Question

Uno podría pensar que, trivialmente, lo "opuesto" a AC es $\neg$ AC. Sin embargo, pensándolo de otra manera, no estoy seguro de que esto sea intuitivamente así.

AC dice que todo conjunto tiene una función de elección. Sin embargo, podemos demostrar la existencia de muchas funciones de elección (por ejemplo, las finitas) sin AC. Así que, en particular, AC sólo nos da las funciones de elección "no constructivas". En general, en toda la matemática, se suele decir que AC sólo es necesario para demostrar la existencia de conjuntos no constructivos. Así, uno podría estar tentado de decir que el axioma que es intuitivamente el "opuesto" de AC es V=L, que dice que todos los conjuntos son construibles. Sin embargo, ¡ya sabemos desde hace tiempo que V=L implica AC! Entonces, ¿es simplemente erróneo caracterizar AC como "no constructible"? ¿Podría un constructivista ¿se puede desconfiar de la CA?

Intuitivamente, creo que la mayoría de la gente caracterizaría el "opuesto" de AC como el axioma de que cualquier conjunto cuya existencia requiere el Axioma de Elección no existe. El pensamiento intuitivo detrás de esto es mucho más fuerte que $\neg$ AC, que sólo dice que existe al menos un conjunto sin función de elección. Sin embargo, esta intuición es bastante defectuosa en varios aspectos. Por un lado, ¡tendría que cuantificar sobre conjuntos inexistentes! Aparte de esto, creo que la principal dificultad es que, como demuestra V=L, la relatividad de la noción de conjunto hace que esta idea sea inviable. ¿Es inviable? ¿Cuál es el mejor candidato para un axioma opuesto a AC? No podemos hacer nada mejor que $\neg$ ¿AC?

Answer 1

En primer lugar, permítame señalar que está mezclando "constructivo" y "construible". Hay muchos conjuntos no constructivos que son construibles. En particular, porque constructivo suele referirse a algo más parecido a "definible a partir de la estructura habitual de los objetos matemáticos" y no a "existe una fórmula teórica de conjuntos que lo define de sopetón".

La negación del axioma de elección es tan no constructiva como el axioma de elección. Al igual que el axioma de elección no nos dice cuál puede ser la función de elección, la negación del axioma de elección no nos dice cuál es la familia de conjuntos que no tiene función de elección. Podría ser que el axioma de elección fallara, por primera vez, en algún rango de von Neumann arbitrariamente alto; o podría ser que sólo fallara para familias de conjuntos muy muy grandes; o podría ser que fallara para un tipo particular de familias de conjuntos, mientras que se mantuviera para otras.

No podemos decirlo. Para sacar conclusiones prácticas del fracaso del axioma de elección normalmente tenemos que suponer algo más. Por ejemplo, "existe un conjunto infinito Dedekind-finito de números reales" es un fallo del axioma de elección que es más específico que simplemente "el axioma de elección falla".

Para resolver este problema de no-constructividad no hace falta negar el axioma de elección, sino cambiar el sistema desde un lugar más profundo. Probablemente la ley del medio excluido, que es la responsable de que podamos asegurar que los objetos no constructivos existen. Por eso la mayoría de los sistemas constructivos rechazan esta ley; y hay un teorema que dice que el axioma de elección implica la ley del medio excluido.

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Dentro de los límites de la lógica clásica, y permaneciendo con $\sf ZF$ :

1. Se puede querer asegurar que hay conjuntos que no pueden ser inyectados en un ordinal; pero también se puede exigir que haya conjuntos que no puedan ser inyectados en un conjunto potencia de un ordinal; y se puede continuar así.

   Así que una opción es decir lo siguiente: Para cada ordinal $\alpha$ hay un conjunto que no puede ser inyectado en $\mathcal P^\alpha(\eta)$ para cualquier ordinal $\eta$ . (Donde $\mathcal P^\alpha$ se define iterando conjuntos de potencias, y tomando la unión en los límites).

2. Podría decir que el axioma de elección implica la existencia de todo tipo de conjuntos locos de números reales. Elegiré "Todo conjunto es medible por Lebesgue", o "Todo conjunto tiene la propiedad de Baire" o "Todo juego está determinado". Estos axiomas suelen poner "orden" en el mundo de los conjuntos no constructivos de reales. Todos ellos son coherentes con $\sf DC$ , lo que significa que incluso se puede desarrollar un análisis razonable en esos modelos.

   Y si el axioma de elección se utiliza principalmente para "Hay algunos conjuntos de números reales desordenados", cosas como los axiomas anteriores dirían esencialmente "Todo conjunto de reales es bien comportado".

3. Tal vez quieras mantenerte centrado en los números reales, y decir "que se joda todo, me vuelvo nuclear" y exigir que los números reales sean una unión contable de conjuntos contables. Esto tiene la ventaja de destruir por completo las formas habituales de definir la medida y la categoría de los conjuntos de reales.

   Incluso se puede ir más allá y exigir que para cada ordinal $\kappa$ , $\mathcal P(\kappa)$ es la unión contable de conjuntos de tamaño $\kappa$ . Esto se conoce como axioma $\sf (K)$ pero no sabemos muy bien si es consistente (en relación con cardinales muy grandes, que son necesarios, por decir algo). Así que puedes consolarte eligiendo "Todo ordinal límite tiene cofinalidad $\omega$ lo que también tiene algunas consecuencias desastrosas.

4. Puedes decidir que quieres conjuntos amorfos, ya que son "el último contraejemplo". Son conjuntos infinitos que no pueden dividirse en dos conjuntos infinitos. Los conjuntos fuertemente amorfos tienen la propiedad adicional de que cualquier partición es toda ella de un solo tono (excepto las partes finitas). Estos conjuntos no pueden ser ordenados linealmente, no pueden ser mapeados en $\omega$ y sus conjuntos cofinitos forman un ultrafiltro completo.

   Los conjuntos fuertemente amorfos no pueden estar dotados de ninguna estructura razonable; pero en general es posible tener conjuntos amorfos que sean espacios vectoriales sobre campos finitos. Estos espacios tienen la extraña propiedad de que cada subespacio propio es finito.

Y hay muchas otras formas de decir "veo el axioma de la elección como responsable de ...", entonces lo contrario sería "... ¡fracasa de la forma más horrible imaginable!".