¿Por qué no $e^x$ tiene un inverso en el plano complejo?

Question

¿Por qué no $e^x$ tiene un inverso en el plano complejo? ¿Puede alguien por favor aclararlo?

Answer 1

Entre reales, sólo $0$ tiene la propiedad de que $e^0 = 1$, pero entre números complejos, hay muchos $z$, que $e^z=1$, por ejemplo, $2\pi i$, $4\pi i$, $6\pi i$ etcetera. Pero desde $e^{z+w} = e^z*e^w$, podría añadir cualquiera de esos números a cualquier exponente $w$ y no cambia el valor de $e^w$. Por lo tanto $e^w$ no es uno a uno y por lo tanto no puede tener una inversa.

Answer 2

Aquí viene el overkill: por Teorema de Picard gran, cualquier función analítica con una singularidad esencial en el infinito toma cada valor complejo, con más de una excepción, un número infinito de veces. $e^z$ claramente tiene una singularidad esencial en el infinito.