Cambio de variables para la integral que implica el rizo

Question

Así que estoy trabajando en un problema de elementos finitos. Normalmente, tengo que tratar con la integral de un gradiente sobre una región triangular $K$ . Trazo la integral al triángulo de referencia $\hat{K}$ con vértices en $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$ con $F_{K}: \hat{K} \to K$ :

$F_{K}(\mathbf{\hat{x}}) = B_{K}\mathbf{\hat{x}} + \mathbf{b}_{K}$

Entonces tenemos

$$\int_{K}\nabla\phi_{i}\cdot\nabla\phi_{j} = \frac{1}{\text{det} \;B_{K}}\int_{\hat{K}}B_{K}^{-T}(\nabla\hat{\phi_{i}}\circ F_{K}^{-1})\cdot B_{K}^{-T}(\nabla\hat{\phi}_{j}\circ F_{K}^{-1})$$

donde $\phi_{i}$ es la función base global y $\hat{\phi_{i}}$ es la función de base local en el triángulo de referencia.

Ahora tengo una integral de la siguiente forma:

$$\int_{K}(\nabla\times\varphi_{i}) \cdot (\nabla\times\varphi_{j})$$

donde $\varphi_{i}$ es un campo base global. Estoy un poco perdido en cuanto a cómo asignar esta integral al triángulo de referencia $\hat{K}$ ...

edit: añadiendo también que el campo base tiene dos componentes solamente. He editado el enunciado del problema ya que al final, el integrando debería ser escalar

Answer 1

Al estar en una triangulación bidimensional, el rizo se puede representar mediante el gradiente: $$ \nabla \times \psi = \begin{vmatrix}\partial_x&\partial_y\newline \psi_1&\psi_2 \end{vmatrix} = \partial_x \psi_2 - \partial_y \psi_1 = \nabla \psi_2 \cdot (1,0) + \nabla\psi_1\cdot (0,-1). $$

Digamos que su campo base global es $$\psi_i = (a\phi_{i,1}, b\phi_{i,2}),$$ es decir, puede ser representado por una base escalar $\phi_i$ en cuanto a los componentes. Entonces $$ \nabla \times \psi_i = b\nabla \phi_{i,2}\cdot (1,0) + a\nabla\phi_{i,1}\cdot (0,-1), $$ y $$ \nabla \phi_i(\mathbf{x}) = \frac{1}{|\det B_K^T|} B_K^T (\nabla\hat{\phi_{i}}\circ F_{K}^{-1})(\mathbf{x}), $$ por lo que $$ \nabla \times \psi_i(\mathbf{x}) = \frac{b}{|\det B_K^T|} B_K^T (\nabla\hat{\phi}_{i,2}\circ F_{K}^{-1})(\mathbf{x})\cdot (1,0) + \frac{a}{|\det B_K^T|} B_K^T (\nabla\hat{\phi}_{i,2}\circ F_{K}^{-1})(\mathbf{x})\cdot (0,-1). $$ Ahora escribe el otro $\psi_j = (c\phi_{j,1}, d\phi_{j,2})$ y hacer lo mismo.

BTW: tu forma de escribir integral parece un poco confusa, no lo olvides $dxdy = |\det B_K^T|d\hat{x}d\hat{y} $ .