Orden y conjunto de elementos del grupo con presentación $\langle a,b \;|\; a^9=1, b^3=a^3, [a,b]=a^3\rangle$

Question

Si tenemos una presentación en grupo $G=\langle a,b \;|\; a^9=1, b^3=a^3, [a,b]=a^3\rangle$ como obtendremos los siguientes valores:

1. El orden del grupo.

2. Los elementos del grupo escritos en términos de los generadores

Answer 1

Este grupo es el mismo que $\langle a,b,c : a^3 = c, b^3 = c, c^3 = 1, ba=abc, ca=ac, cb=bc \rangle$ . Esta presentación es una presentación policíclica reducida y confluente, por lo que $G$ tiene orden $27$ (el producto de los órdenes relativos de los generadores) y sus elementos son exactamente los productos $a^i b^j c^k$ para $0 \leq i,j,k < 3$ .

Puede comprobar en GAP que este grupo es SmallGroup(27,4) , el grupo extraespecial de exponente 9 y orden 27.

gap> f:=FreeGroup("a","b");;
gap> IdGroup(f/ParseRelators(f,"a^9=1, b^3=a^3, \[a,b\]=a^3"));
\[ 27, 4 \]