¿Son dos eventos independientes$A$ y$B$ también condicionalmente independientes dado el evento$C$?

Question

Si sabemos que dos eventos$A$ y$B$ son independientes, ¿podemos decir que$A$ y$B$ también son condicionalmente independientes dado un evento arbitrario$C$?

ps

Answer 1

No, lanza una moneda imparcial dos veces. Permita que$A$ sea el evento en el que el primer lanzamiento sea un encabezado, permita que$B$ sea el evento en el que el segundo lanzamiento sea un encabezado y permita que$C$ sea el evento en que los resultados de ambos lanzamientos sean lo mismo (es decir,$C=\{HH,TT\}$).

Entonces$A$ y$B$ son independientes, pero$\mathbb P(A\cap B|C) = \mathbb P(A|C) = \mathbb P(B|C) = \frac 12$.

Answer 2

Sugerencia: considere el ejemplo de $${{\ text {Event} A} \ atop \begin{array}{|c|c|c|} \hline\strut& & \\\hline \strut& & \\\hline \strut\Large\color{red}{\bullet} & \Large\color{red}{\bullet} & \Large\color{red}{\bullet}\\\hline \end {array}} \ qquad {{\ text {Event} B} \ atop \begin{array}{|c|c|c|} \hline\strut& & \Large\color{blue}{\bullet}\\\hline \strut\;\;&\;\; & \Large\color{blue}{\bullet}\\\hline \strut & & \Large\color{blue}{\bullet}\\\hline \end {array}} \ qquad {{\ text {Event} C} \ atop \begin{array}{|c|c|c|} \hline\strut& & \\\hline \strut\;\;&\Large\color{green}{\bullet} & \\\hline \strut & \Large\color{green}{\bullet} & \Large\color{green}{\bullet}\\\hline \end {array}}$$