Determinar donde existe $f'(z)$ y encontrar su valor en esos puntos.

Question

Estoy revisando el análisis complejo para un examen próximo y me estoy encontrando difícil acabar con determinadas preguntas. Siento que empiezo bien, pero no puede recordar cómo envolver las respuestas en la forma adecuada.

$--------------------------------------$ Dejando $z = x + iy$, para cada una de las siguientes funciones determinar dónde se $f'(z)$ existe y encontrar su valor en esos puntos.

(a) $f(z) = z$ Im$(z)$

(b) $f(z) = x^3 + i(1-y)^3$

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Para la parte (a) estoy bastante seguro de $f'(z)$ no existe:

Deje $f(z) = $Im$(z)$, $z, h \in \Bbb C,$ $h \ne 0,$ hemos

$\frac{Im(z+h) - Im(z)}{h}$ = $\frac{Im(z)+Im(h)-Im(z)}{h}$ = $\frac{Im(h)}{h}$.

Ahora, si $h \rightarrow 0 $ a través de los valores reales, Im$(h)=0$, y

$\lim \limits_{h \to 0} {\frac{Im(z+h)-Im(z)}{h}}$ = $\lim \limits_{h \to 0}{\frac{Im(h)}{h}}$.

En este punto creo que es necesario mencionar los valores imaginarios y a la conclusión de que $f'(z)$ no existe por el uso de los valores reales e imaginarios, pero mis notas me están dando una asistencia limitada en cómo hacer esto correctamente.

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Para la parte (b) me había hecho una pregunta similar antes, pero de nuevo, yo lucho a la conclusión de que mis respuestas en forma matemática.

Si $f(z) = x^3 + i(1-y)^3$,$u(x,y)=x^3$$v(x,y)=(1-y)^3$ , por lo que

$\frac{\partial u}{\partial x}$=$3x^2$, $\frac{\partial v}{\partial y} =-3(1-y)^2$

$\frac{\partial u}{\partial y}=0$, $\frac{\partial v}{\partial x}=0$.

El Cauchy-Riemann ecuaciones son $3x^2 +3(1-y)^2=0$

¿Cómo puedo entonces encontrar los puntos en los que se $f'(z)$ existe?

Cualquier ayuda se agradece mucho!!

Answer 1

(a) $f(z)= z \text{ Im } z=(x+iy)y=xy + iy^2$

Por lo tanto $u(x,y)=xy$$v(x,y)=y^2$.

$\frac{\partial u}{\partial x} = y, \ \frac{\partial u}{\partial y} =x$ y $\frac{\partial v}{\partial x} =0, \ \frac{\partial v}{\partial y} =2y$.

De Cauchy-Riemann ecuaciones son válidas si y sólo si

$$y=2y \text{ and } x=0$$ The only solution is $z=0$. También $$\left\vert \frac{f(z)-f(0)}{z-0} \right\vert \le \vert z \vert$$ as $\vert \text{Im }z\vert \le \vert z \vert$. Hence $\lim\limits_{z \to 0} \frac{f(z)-f(0)}{z-0}=0$ and $f^\prime(0)=0$.

(b) usted encontrar la correcta ecuación de $$3x^2 +3(1-y)^2=0$$

cuya única solución es $x=0$ $y=1$ como una suma de números reales positivos sólo se desvanece si los números reales son iguales a cero. En ese caso, $f$ es holomorph sólo en $z=i$.

Para encontrar $f^\prime(i)$, usted tiene que notar que $f(i)=0$ y $$\left\vert \frac{f(z)-f(i)}{z-i} \right\vert = \left\vert \frac{x^3+i(1-y)^3}{x+i(y-1)}\right\vert \le \vert x \vert^2 +\vert y-1\vert^2$$

Demostrando que $f^\prime(i)=0$.

Answer 2

Usted puede utilizar de Cauchy-Riemann en la parte (a) así. En la parte (a), usted puede escribir $f(x + iy) = (x + iy)y$.

Para la parte (b):

Si el Cauchy-Riemann ecuaciones no se mantenga en un cierto $(x,y)$, se garantiza que las $f$ no es diferenciable en a $x + iy$.

Lo contrario es más complicado. Un teorema establece que si las derivadas parciales $\partial u / \partial x$, $\partial u / \partial y$, $\partial v / \partial x$ y $\partial v / \partial y$ todos los que existen en un abrir barrio de $(x,y)$, y son continuas en a $(x,y)$, y para satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones en$(x,y)$, $f$ es diferenciable en a $x + iy$.

Si estos criterios se espera, entonces la derivada en $x + iy$ es $$ f'(x + iy) = \frac{\partial u}{\partial x} (x,y) + i \frac{\partial v}{\partial x} (x,y) = -i\frac{\partial u}{\partial y} (x,y) + \frac{\partial v}{\partial y} (x,y).$$

En tu ejemplo, el punto de $(x,y) = (0,1)$ es el único punto donde el Cauchy-Riemann ecuaciones están satisfechos. Este es el punto de $z = i$ sobre el plano complejo. Por lo $f$ sólo puedan ser diferenciable en a $i$; no puede ser diferenciable en cualquier otro lugar.

De hecho, $f$ es diferenciable en a $i$. Las derivadas parciales son ciertamente definida en un abierto el barrio de $i$. Furtherfore, las derivadas parciales son continuas en a $i$ y obedecer la de Cauchy-Riemann ecuaciones en $i$, por lo que las condiciones del teorema se cumplen. Por último, las derivadas parciales en $z = i$ son todos cero, por lo $f'(i) = 0$.

Si usted prefiere en lugar de demostrar $f'(i) = 0$ a partir de primeros principios, que pueden ayudar a escribir $$ h = k + il,$$ donde $k, l \in \mathbb R$. Entonces $$ \frac{f(i + h) - f(i)}{h} - 0 = \frac{k^3 - il^3}{k + il} = k^2 - i kl - l^2.$$ Debe preguntarse: dado un $\epsilon > 0$, ¿existe un $\delta > 0$ tal que $$ \sqrt{ k^2 + l^2 } < \delta \implies |k^2 - ikl - l^2 | < \epsilon ?$$ (La respuesta, por supuesto, es "sí".)