¿Encontrar un punto en un círculo que tenga un ángulo específico de incidencia con un punto dado dentro de él?

Question

Supongamos que tenemos un círculo de radio r centrado en el origen, y se nos da un punto C$(x,y)$ dentro del círculo.

Deje $\theta_i$ ser el ángulo de incidencia de la línea trazada desde C. Si conocemos $\theta_i$ (es decir, 23º) y C, ¿cómo podemos encontrar las coordenadas de P$(x,y)$, el punto en el círculo donde el ángulo de incidencia de C es $\theta_i$?

Edit 1: Oops, se olvidó de sacar la P en el círculo. Es el punto donde la línea se reúne el círculo.

Answer 1

Para encontrar los puntos de $P$ sobre un determinado círculo de $c$ de centro $O$ y radio de $R$, de tal manera que $\angle CPO=\alpha$, únete a $CO$ y a partir de su punto medio $M$ dibujar la mediatriz $r$. Deje $A$ ser un punto en $r$ tal que $\angle CAM=\alpha$ (que es $AM=CM/\tan\alpha$), a continuación, dibuje el círculo de $a$ con centro en $A$ y pasando a través de$O$$C$. Las intersecciones entre el $a$ y el círculo de $c$ son los puntos necesarios, así como la simetría de los puntos con respecto a la línea $OC$. De hecho, si $P$ es uno de tales intersecciones, a continuación, $P$ se encuentra en $a$$\angle CPO=(1/2)\angle CAO=\alpha$. Aviso que no tenemos soluciones para $OC<R\sin\alpha$ ($a$ contenida en $c$), dos soluciones para $OC=R\sin\alpha$ ($a$ tangente a $c$) y cuatro soluciones para $OC>R\sin\alpha$ ($a$ la secante a $c$).

Si $x_C$, $y_C$ están las coordenadas de $C$, luego las coordenadas de $A$ (o $A'$) están dadas por $x_A={1\over2}(x_C\mp y_C/\tan\alpha)$, $y_A={1\over2}(y_C\pm x_C/\tan\alpha)$, y es sencillo obtener las coordenadas de los puntos de intersección: $$ x_P={2R\sin^2\alpha\sobre t^2} \left( Rx_A\pm y_A\sqrt{{t^2\\sin^2\alfa}-R^2} \right)\ y_P={2R\sin^2\alpha\sobre t^2} \left( Ry_A\mp x_A\sqrt{{t^2\\sin^2\alfa}-R^2} \right), $$ donde $t=OC=\sqrt{x_C^2+y_C^2}$.

Edición de Azul. Aquí una foto:

Answer 2

Suponga que el centro del círculo es el origen. Tenemos $P\cdot(P-C) = |P| |P-C| \cos\theta$, pero $|P|=1$, lo $P\cdot (P-C) = P\cdot P - P\cdot C$ (linealidad) $= 1-P\cdot C$ e esta ecuación se convierte en $1-P\cdot C = |P-C|\cos\theta$; luego el cuadrado ambos lados y el uso de $|v|^2=v\cdot v$, obtenemos $(1-P\cdot C)^2 = \cos^2\theta (P-C)\cdot (P-C)$. Podemos utilizar la linealidad para ampliar la RHS de nuevo, consiguiendo $(1-P\cdot C)^2=\cos^2\theta(P\cdot P-2P\cdot C+C\cdot C) = \cos^2\theta (1+|C|^2-2P\cdot C)$. Esta es una ecuación de segundo grado en $P\cdot C$, que se puede resolver para conseguir que el valor (o los valores - no veo ninguna razón que el punto dado $P$ debe ser único).

Por último, dado que las ecuaciones $P\cdot C=q$ (donde $q$ es un valor calculado a partir de la solución de la ecuación cuadrática arriba) y $P\cdot P=1$, hay presumiblemente varias maneras de resolver para$P$, pero el más sencillo (para mí) es el conjunto de $P=(x,y)$ y tenga en cuenta que $P\cdot C=q$ es una ecuación lineal en la $x$$y$, de modo que puede utilizar para sustituir uno de $x,y$ para los demás en $P\cdot P=1$ (que es simplemente la ecuación de $x^2+y^2=1$ del círculo), la obtención de los valores finales de $x,y$.

Answer 3

• La Fom en la siguiente figura podemos calcular:

$\cos(D)=\frac{a}{d}$.....(1)

$\cos(D+\theta)=\frac{a}{r}$ ..... (2)

(2) en (1) -> $\cos(D)=\frac{r\cos(D+\theta)}{d}$

$d=\frac{r\cos(D+\theta)}{\cos(D)}$ ........... (3)

• A partir de las reglas de triángulo podemos deducir lo siguiente:

1-la gran triángulo:

$\frac{r}{\sin(e)}=\frac{B}{\sin\theta}$

$\sin(e)=\frac{r\sin\theta}{B}$.....(4)

$\frac{C}{sin(Y+y)}=\frac{C}{\sin(2\pi-e-\theta)}=\frac{C}{\sin(-e-\theta)}=-\frac{C}{\sin(e)\cos\theta+\cos(e)\sin\theta}=\frac{B}{\sin\theta}$

$C=-B\sin(e)cot\theta-B\cos(e)$....(5)

2 - desde la derecha del triángulo:

$\frac{A}{\sin(e)}=\frac{B}{\sin(\pi-t)}$

$A\sin(t)=B\sin(e)$,

de (4): $A\sin(t)=B\frac{r\sin\theta}{B}=r\sin\theta$....(6)

$\frac{A}{\sin(e)}=\frac{C-d}{\sin(Y)}$

$\frac{A\sin(Y)}{C-d}=\sin(e)$

De (5), $\frac{A\sin(Y}{C-d}=\frac{A\sin(Y)}{-B\sin(e)\cot\theta-B\cos(e)-d}=\sin(e)$,

usando (4),

$A\frac{sin(-Y)}{B\frac{r\sin\theta}{B}\cot\theta+B\sqrt{1-\frac{r^2\sin^2\theta}{B^2}}+d}=\frac{r\sin\theta}{B}$ ...... (7)

3 - Desde la izquierda del triángulo:

$\frac{A}{\sin(\theta)}=\frac{d}{\sin(y)}$

$\frac{A*\sin(y)}{d}=\sin\theta$ ..... (8)

---

• Sabiendo que $\sin(y)=\frac{a}{r}=\cos(D+\theta)$ ....(9)

(3),(9) en (8) -> $\frac{A*\cos(D+\theta)}{\frac{r\cos(D+\theta)}{\cos(D)}}=\sin\theta$

$\frac{A*\cos(D)}{r}=\sin\theta$ .... (10)

(3) en (7) ,

$A\frac{sin(-Y)}{B\frac{r\sin\theta}{B}\cot\theta+B\sqrt{1-\frac{r^2\sin^2\theta}{B^2}}+\frac{r\cos(D+\theta)}{\cos(D)}}=\frac{r\sin\theta}{B}$ ...... (11)

(10) (11)

$\frac{r\sin\theta}{\cos(D)} \frac{sin(-Y)}{B\frac{r\sin\theta}{B}\cot\theta+B\sqrt{1-\frac{r^2\sin^2\theta}{B^2}}+\frac{r\cos(D+\theta)}{\cos(D)}}=\frac{r\sin\theta}{B}$

$ {B}\frac{sin(-Y)}{{\cos(D)}{r\cos\theta}+{\cos(D)}\sqrt{B^2-{r^2\sin^2\theta}}+{r\cos(D+\theta)}}=1$

$\cos^2 D + \frac{{\left(\cos D\, \left(2\, r\, \mathrm{\cos}\!\left(\mathrm{\theta}\right) + \sqrt{B^2 - r^2\, {\mathrm{\sin}\!\left(\mathrm{\theta}\right)}^2}\right) - B\, \mathrm{\sin}\!\left(- Y\right)\right)}^2}{r^2\, {\mathrm{\sin}\!\left(\mathrm{\theta}\right)}^2} - 1=0$...(12)

con:

$x=cos(D)$

$a1=2*r*\cos(\theta)+\sqrt{B^2-(r^2*\sin(\theta)^2)}$

$a2=(B)*\sin(-Y)$

$a3=(r*\sin(\theta))^2$

soluciones:

$x_1=\frac{\mathrm{a1}\, \mathrm{a2} + \mathrm{a3}\, \sqrt{\frac{{\mathrm{a1}}^2 - {\mathrm{a2}}^2 + \mathrm{a3}}{\mathrm{a3}}}}{{\mathrm{a1}}^2 + \mathrm{a3}}$

$x_2=\frac{\mathrm{a1}\, \mathrm{a2} - \mathrm{a3}\, \sqrt{\frac{{\mathrm{a1}}^2 - {\mathrm{a2}}^2 + \mathrm{a3}}{\mathrm{a3}}}}{{\mathrm{a1}}^2 + \mathrm{a3}}$

Answer 4

Que $Q$ sea el punto de incidencia. Podemos resolver el triángulo OCQ con lados $r$ y $|OC|$ % ángulo $\theta$por el seno derecho y encontrar el ángulo $\angle{COP}$. $$ \sin (\angle OCQ) = \frac r {| OC |} \sin (\theta) \ \angle COQ = \pi \angle OCQ-\theta. $$

Esto da el ángulo polar de $Q$ (saber que $C$). El punto solicitado $P$ tiene un ángulo polar igual a la de $Q$ menos el ángulo en el vértice de un triángulo isósceles, $\pi-2\theta$.