Inyección$f:[0,1]\to [0,1]{\bf\big\backslash}\left\{ 1/n : n\in \mathbb{N}^*\right\}$ con$f(0)=0$ y$f$ continuo en$0$?

Question

¿Existe una función$f:[0,1]\to [0,1]\setminus\left\{\frac 1n, n\in \mathbb{N}^*\right\}$ para que$f$ sea 1-1,$f(0)=0$ y$f$ continuo en$0$? ¿Tiene una forma cerrada?

Sé que como$[0,1], [0,1]\setminus\left\{\frac 1n, n\in \mathbb{N}^*\right\}$ tiene la misma cardinalidad$\mathfrak{c}$, existe al menos una bijection entre ellos. Al cambiar$0,x$ ($x$ es el número único para el cual$f(x)=0$) puedo obtener$f(0)=0$. Pero, ¿qué pasa con la continuidad en$0$?

Answer 1

Para cada$n$, elija cualquier biyección$g_n:]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]\to]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}[$.

Luego defina$f$ usando las funciones$g_n$: para cada$x$%,$f(x)=g_n(x)$ tal que$x\in]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$, y por supuesto$f(0)=0$.

Puede demostrar que$f$ cumple todos los requisitos.

Answer 2

Para cada$n\in\mathbb N$, los intervalos$\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$ y$\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)$ tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, hay funciones$$\phi_n:\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]\longrightarrow\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)$ $ que son$1-1$ (y sobre).
Por ejemplo $\phi_n(x)=\dfrac{(n+1)x+1}{2(n+1)}$.
Defina$f:[0,1]\to [0,1]\setminus\left\{\frac 1n, n\in \mathbb{N}^* \right\}$ con$f(0)=0$ y$f(x)=\phi_n(x)$ si$x\in\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$.