Es muy común el uso de sistemas físicos para realizar los cálculos (ver aquí y aquí). Esto es para un número de razones: a veces, el sistema físico es eficiente, a veces nos ayuda a entender los principios generales de un sistema físico, y a veces, porque puede ser una buena forma de demostrar cómo un sistema formal de las obras.
En este caso, estoy interesado en el último caso. Quiero encontrar un sistema físico que muestra cómo un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias obras. Específicamente, estoy interesado en las Odas de una forma particular:
$$\frac{\partial x_i}{\partial t} = \sum_j A_{ij} x_j + B_i$$
Tengo un caso específico en mente, pero el caso general es muy interesante. En particular, he estado pensando sobre el agua de los modelos, que puede servir de modelo a un subconjunto de estas ecuaciones, y acerca de la cual tengo algunas preguntas (ver más abajo).
La siguiente es una instancia del sistema:
$$ \frac{\partial x}{\partial t} = A - Bx$$ $$ \frac{\partial y}{\partial t} = Bx - Cy$$
con elegir adecuadamente $A\propto a$, $B \propto b$ etc.
Aquí es otro sistema, la elección del $k \propto K$ (uno puede agregar fácilmente una constante en esta cambiando las alturas relativas):
$$\frac{\partial x}{\partial t} = k(y-x)$$ $$\frac{\partial y}{\partial t} = k(x-y)$$
Mis preguntas:
Mostrar si el sistema de $$ \dot{x} = a - bx + cy$$ $$\dot{y} = bx - dy$$ puede ser instanciado el uso de bombas, grifos, y los agujeros (estoy bastante seguro de que no se puede).
De manera más general, el uso de bombas, grifos y agujeros, ¿cuáles son las limitaciones de la $[A_{ij}]$$[B_i]$.
Suponiendo que la ecuación en (1) no se pueden crear instancias, lo que la modificación física podría ser utilizado para hacerlo posible. (hay un buen montón de posibilidades, por ejemplo, este)
Hasta ahora:
A las 2 de La forma en que estoy pensando de ir sobre ella es definir un "sistema de agua" de forma inductiva. Deje $\mathcal{W}$ el conjunto de "sistemas de agua", compuesta de un conjunto de ecuaciones diferenciales y una condición lógica $\mathcal{C}$ bajo los que se aplican. Esto puede o puede no ser la correcta...
A la par que contiene $n$ diffential ecuaciones $\{\dot{x_i} = 0 \;|\; i=1\ldots n\}$ $\mathcal{C}=T$ es un sistema de agua.
Unirse cuencas: Si $\{\dot{x}_i = f_i(x_1 \ldots x_n)\}\in\mathcal{W}$, entonces los sistemas transformados por $$f_i\rightarrow f_i + k(x_i - x_j + \Delta h)$$ $$f_j \rightarrow f_j + k(x_j - x_i - \Delta h)$$ $$C \rightarrow C \wedge (something??) $$ also belongs to $\mathcal{W}$.
Fugas: Si $\{\dot{x}_i = f_i(x_1 \ldots x_n)\}\in\mathcal{W}$, entonces los sistemas transformados por $f_i\rightarrow f_i - k(x_i - h)$$\mathcal{W}$.
Otras cosas
De todos modos, no estoy seguro, esta es la forma correcta de ir sobre él.
