¿Cómo probar que la media de las co primos de un número es la mitad?

Question

$n = 6$, El conjunto de números primos Co es ${1, 5}$, $\text{mean} = 3$

$n = 9$, El conjunto de números primos Co es ${1, 2, 4, 5, 7, 8 }, \text{mean} = 4.5$

Pregunta: demostrar que la media de co primos de $n$, que son menos de $n$ es la mitad del número sí mismo.

Calcula todos los valores hasta $10000$ y parece que sostenga bien.

Answer 1

Voy a postear por separado respuesta porque creo que Inceptio es demasiado complicado para un problema de este sencillo.

Tenga en cuenta que $a$ es relativamente primer a $n$ si y sólo si $n - a$ es relativamente primer a $n$. También, generalmente, $a \ne n - a$ (aunque hay una excepción, que usted tiene que tratar por separado. Se puede encontrar la excepción?) De todos modos, esto significa que podemos hacer una lista de todo lo relativamente primer a $n$ en pares de la forma $(a, n - a)$, es decir, nuestra lista es: $$ a_1, n - a_1, a_2, n - a_2, a_3, n - a_3, \cdots , a_k, n - a_k $$

También podemos garantizar que esta lista es todo-inclusivo (por qué?) y que no hay ningún número que aparece dos veces (¿cómo?). Luego, simplemente suma los números en la lista y se dividen por el total. Usted debe conseguir que el promedio es $\frac{n}{2}$.

Answer 2

Deje $\{a_1, \dots a_{ \phi(n)} \}$ ser el conjunto de todos los co-primos de $n$, se observa que el$a_{\phi(n)}=n-1( Why?)$$a_1=1$.

Vamos $n= p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_j}$ , $p_i \nmid a_k$ donde $1 \le i \le k$ $1 \le j \le \phi(n)$

Como ha señalado con razón por Battacharjee en su comentario, $\gcd({n,a_i})=1=\gcd(a_i,n-a_i)$

Y la prueba de ello:

$(n,a_i)=d \implies n=df, a=dt \implies \gcd(dt,d(f-t))=d=\gcd(a_i,n)$,ya que el $\gcd(t,f)=1$.

Aquí $\gcd(a_i, n)=1 \implies \gcd(a_i,n-a_i)=1$

Tenga en cuenta que: $a_i, n-a_i \in \{a_1, \dots a_{ \phi(n)} \}$

$$\sum_1^{\phi(n)}a_i= \dfrac{\phi(n) n}{2}$$

Ahora el resultado es bastante directa.

$$\text{Mean}= \dfrac{\sum_1^{\phi(n)}a_i}{\phi(n)}=\dfrac{n}{2}$$

Algunas cosas que necesitan ser explicados:

$\phi(n)$ denota la Totient función. Número de co-primos de $n$ , menos de $n$. Usted debe leer más acerca de él.

$a_i, n-a_i \in \{a_1, \dots a_{ \phi(n)} \}$(Por qué?)

Porque: $\gcd(a_i, n-a_i)=1$, y todos los números que son compañeros de primer a $n$ están en el conjunto, lo que significa que están en el conjunto.

La respuesta parece demasiado complicado, sólo porque de notaciones. Mira Smoo respuesta.

Answer 3

Supongo que $n\neq2$. El caso $n=2$ debe ser tratado por separado (ver comentario de Goos).

Desde $\gcd(a,n)=1\iff\gcd(n-a,n)=1$ se deduce que si $C={a_1,a_2,\ldots,a_r}$ es el conjunto de los enteros positivos de primer Co $n$ (y más pequeño de $n$) entonces podemos escribir $ de $$C={a_1,a_2,\ldots,a_s,n\color{brown}{-a_s},\ldots,n\color{brown}{-a_2},n\color{brown}{-a_1}}$ $s=\dfrac{r}{2}$.
En tus ejemplos $n=6$, $C={1,5}={1,6\color{brown}{-1}}$ y
$n=9$, $C={1,2,4,5,7,8}={1,2,4,9\color{brown}{-4},9\color{brown}{-2},9\color{brown}{-1}}$.

Por lo tanto $\sum C=s\cdot n$ y la media es $\dfrac{\sum C}{2s}=\dfrac{s\cdot n}{2s}=\dfrac{n}{2}$.