¿Cómo puedo encontrar generadores del grupo de rotaciones del cubo d-dimensional en sí mismo cuando se ve como un subgrupo de grupo simétrico de orden $2^d$?
Esto es relacionado a mi anterior pregunta pero no especializada a $d=3$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a describir el cubo, las simetrías del cubo, y los generadores de la simetría del cubo.
El plus–minus–estrellas de la descripción de las caras de un cubo:
El d-dimensional del cubo puede considerarse como el conjunto de puntos en Rd con coordenadas entre -1 y +1.
Sus vértices son todas las secuencias de los pros y los contras de longitud d. Para d=2 se obtiene los cuatro vértices { ++, +−, −+, -- }. Para d=3 se obtiene los ocho vértices { +++, ++−, ..., --+, ---}.
Sus bordes son obtenidos a partir de los vértices al permitir que una de las coordenadas para variar. Para d=2 se obtiene de los cuatro bordes { ☆+, ☆−, +☆, −☆ } donde, por ejemplo, + ☆ = { (1,y) : -1 ≤ y ≤ 1 } y ☆− = { (x,-1) : -1 ≤ x ≤ 1 }. Para d=3 se obtiene el doce bordes { ☆++, ☆+−, ..., −+☆, --☆ }.
Sus 2 caras que se obtienen a partir de los vértices permitiendo que dos de las coordenadas para variar. Para d=2 se obtiene la única cara { ☆☆ } donde ☆☆ = { (x,y) : -1 ≤ x,y ≤ 1 }. Para d=3 se puede obtener las seis caras { ☆☆+, ☆☆−, ☆+☆, ☆−☆, +☆☆, −☆☆ }.
Su k-caras para k ≤ d se obtienen a partir de los vértices por permitir k de las coordenadas para variar.
Para algunas personas el cubo se define por su k-caras para 0 ≤ k ≤ d. Una simetría de Rd se define por lo que hace a un afín, como la de todos −1s vector combinado con los vértices del cubo con exactamente 1 coordinar con un +1 y d−1 coordenadas con un -1. Así una simetría está determinada únicamente por donde se envía el 0-caras (los vértices).
Las simetrías del cubo firmado permutaciones:
Una simetría del cubo debe tomar k-se enfrenta a k-caras. En particular, se debe tomar en los bordes de los bordes. Ya que está determinado por lo que hace a los vértices, se obtienen dos operaciones distintas:
- para cada coordenada, debemos enviar a otra coordinar
- para cada coordenada, podemos invertir o no
Por ejemplo ☆++ puede ser enviado a cualquiera de las otras aristas, como −☆+. Para el primer punto, vemos que la primera coordenada ha sido enviado a la segunda coordenada (permuting las estrellas). Para el segundo punto tenemos dos posibilidades según lo que ocurra a los vértices dentro ☆++: debemos enviar { +++, −++ } a { −++, --+ }, pero podemos hacer esto de dos maneras distintas (la negación de la señal o no).
Para el primer punto, obtenemos la acción del grupo de simetría en ciertos "bloques" da lugar a que el grupo simétrico de d objetos. Para el segundo punto, tenemos que la acción del grupo de simetría en cada bloque da lugar a que el grupo simétrico de 2 objetos.
En otras palabras, por cada coordinar tenemos que decidir dónde enviar y si a negarlo. La colección de todas estas decisiones se llama el grupo de firmado permutaciones, también conocido como el hyperoctahedral grupo. El uso de la matriz o coordinar la representación es fácil comprobar que todos esos firmado permutaciones son, de hecho, las simetrías del cubo.
Por ejemplo, para d=2 se podría decir, "cambiar las coordenadas, luego de negar la primera coordenada," que puede escribirse simplemente como (x,y)↦(−y,x) en la notación de la función, o en notación matricial: \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}
De manera más compacta, podríamos decir [1,2]↦[-2,1] que podemos permutar las coordenadas y la marca que coordina obtener negado. La acción en los vértices es fácil de describir: se envía [ ++, +−, −+, -- ] a [ −+, ++, --, +− ].
En general, para describir tal simetría tenemos que elegir una permutación de vértices (un elemento del grupo simétrico de d objetos) y, a continuación, d opciones de ± a decidir si anula una coordenada o no. El tamaño del grupo es por lo tanto d!⋅2d y la estructura del grupo es la corona de producto de Sym(d) actuando en Sym(2), y la permutación de la estructura del grupo en los vértices es más específicamente la acción del producto. En la BRECHA de esto se escribe como:
WreathProductProductAction( SymmetricGroup(2), SymmetricGroup(d) );
Los generadores del grupo de simetría en los vértices:
La parte de el grupo de simetría que sólo permutes las coordenadas sin hacer ninguna negación se llama el grupo simétrico y tiene dos grupos electrógenos:
- { (1,2), (2,3), ..., (d−1,d) }, la coxeter generadores, y
- { (1,2,3,...,d), (1,2) }, el d-ciclo de generación del sistema.
El Coxeter generadores son mejores por muchas razones teóricas, y el d-ciclo de generación del sistema es muy breve y muy bueno para computacional razones.
Esta parte de el grupo de simetría puede cambiar el primer coordinar con cualquier otra coordenada, y para terminar de generar el grupo es, de hecho, basta con simplemente cambiar el signo de una coordenada. Así tenemos a los dos grupos electrógenos:
- { (1,2), (2,3), ..., (d−1,d), d }, la coxeter generadores, y
- { (1,2,3,...,d), (1,2), d }, un d-ciclo de generación del sistema
La presentación del grupo en el Coxeter generadores es muy agradable. Les llamamos g(1), g(2), ..., g(d−1), g(d). Entonces siempre tenemos g(k)2 = 1 es la identidad, g(i)⋅g(j) = g(j)⋅g(i) siempre que 1 ≤ i ≤ d−2, y+2 ≤ j ≤ d, que es, siempre y cuando i y j no son adyacentes. Además, g(k)⋅g(k+1)⋅g(k) = g(k+1)⋅g(k)⋅g(k+1) para 1 ≤ k ≤ d−2, pero para k = d−1 tenemos la más: g(d−1)⋅g(d)⋅g(d−1)⋅g(d) = g(d)⋅g(d−1)⋅g(d)⋅g(d−1).
Si la etiqueta de los vértices de 1 a 2d, entonces es un poco de una molestia de escribir los generadores, simplemente porque hay muchos puntos. Yo probablemente sólo tiene que utilizar:
GeneratorsOfGroup( symmetry_group );
en la BRECHA de mí mismo, pero podría escribir de ellos, si quería.
