Cantidad finita que involucra números de Stirling

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente suma finita:

$$ \ sum_ {h = 0} ^ {m} \ binom {m} {h} 2 ^ {mh} S (h, kr) S (mh, r), \ qquad 0 \ leq r \ leq k \ leq m, $$

donde$S(n,k)$ es el número de Stirling del segundo tipo. ¿Puedes arrojar algo de luz sobre eso?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Esta suma proviene del producto de la exponencial de la generación de la función de los números de Stirling del segundo tipo con sí mismo. El número de bloques en la primera egf es $k-r$; el número de bloques en el otro es $r$. El factor de $2^{m-h}$ puede ser explicada por un factor de 2 en la variable de la segunda egf. Desde el feag de los números de Stirling del segundo tipo se divide en $k$ bloques es $\frac{(e^x-1)^k}{k!}$, su suma es el coeficiente de $x^m$ $$\frac{(e^x-1)^{k-r}}{(k-r)!}\frac{(e^{2x}-1)^r}{r!}.$$ Algebraicamente, esto se simplifica a $\frac{(e^x-1)^k}{(k-r)!}\frac{(e^x+1)^r}{r!}$, que puede ser ampliado con el teorema del binomio para obtener una buena suma.

Editar:

Su suma es $[x^m]\frac{1}{r!(k-r)!}(e^x-1)^k (e^x+1)^r$ que, por la fórmula del producto, es $$\frac{1}{r!(k-r)!}\sum_{n=0}^m[x^n](e^x-1)^k\cdot [x^{m-n}](e^x+1)^r.$$ Por el teorema del binomio esto es $$\frac{1}{r!(k-r)!}\sum_{n=0}^m\left(\sum_{\ell=0}^k\binom k\ell(-1)^{k-\ell}[x^n]e^{\ell x}\cdot\sum_{s=0}^r \binom rs[x^{m-n}]e^{sx}\right).$$ La extracción de los coeficientes, su suma es equivalente a $$\frac{1}{r!(k-r)!}\sum_{n=0}^m\left(\sum_{\ell=0}^k\binom k\ell(-1)^{k-\ell}\frac{\ell^n}{n!}\cdot\sum_{s=0}^r \binom rs\frac{s^{m-n}}{(m-n)!}\right).$$

Answer 2

Por una combinatoria argumento, quizás también es posible a partir de la generación de la función que usted ya tiene, usted puede llegar a la siguiente fórmula de recursión. $$A_{a,b,c}=cA_{a-1,b,c}+A_{a-1,b-1,c-1}+2(b-c)A_{a-1,b,c}+2A_{a-1,b-1,c},$$with initial values $A_{a,b,c}=0$ if $a<0$ or $b<0$ or $c<0$ or $a<b$ or $b<c$ and $A_{a,b,c}=\binom{b}{c}2^{b-c}$ if $a=b$.
La combinatoria argumento es contando el número de particiones$\lambda = \{B_i\}_{1\leq i\leq k}$ en el conjunto de colores $[a]$ $3$ colores de tal manera que en cada bloque de $B_i$ si $x\in B_i$ $x$ es de color con $0$ o $1$, ningún elemento de $B_i$ es de color con el color de la $2$. También, el número de bloques en el que cada elemento es de color por $2$$c$.
Su fórmula cuenta el número de ese tipo de particiones, dividiendo en dos el conjunto de $[a]$, los que son de color por $2$,contados a $\binom{m}{h}S_{h,k-r}$ y los que son de color por $0,1$ cuentan $2^{m-h}S_{m-h,r}$.
En la recursividad, el proceso es el mismo pero añadiendo en cada paso, un nuevo elemento. Por lo $cA_{a-1,b,c}$ es el número de maneras que usted puede poner un nuevo elemento de color por $2$ $c$ bloques que tiene, $A_{a-1,b-1,c-1}$ es crear un nuevo bloque con el nuevo elemento de color por $2$, $2(b-c)A_{a-1,b,c}$ es para poner un nuevo elemento de color por $0$ o $1$ $b-c$ bloques y $2A_{a-1,b-1,c}$ es crear una nueva clase para poner un nuevo elemento de color por $0$ o $1$.
No sé cómo venir para arriba con un cerrado la expresión, pero espero que esto ayude.