Definición precisa de un régimen (Pregunta clave: Cómo definir un subfuntor abierto sin recurrir a la teoría clásica de esquemas)

Question

Especulaciones y antecedentes

Dejemos que $\mathcal{C}:=CRing^{op}_{Zariski}$ el sitio afín de Zariski. Consideremos la categoría de láminas, $Sh(\mathcal{C})$ .

Según nLab, los esquemas son aquellas láminas que "tienen una cobertura por inmersiones abiertas de Zariski de esquemas afines en la categoría de presheaves sobre Aff".

En SGA 4.1.ii.5 Grothendieck define otra topología sobre $Sh(\mathcal{C})$ utilizando una "familles couvrantes", que son familias de morfismos $\{U_i \to X\}$ tal que el mapa inducido $\coprod U_i \to X$ es un epimorfismo. Además, da otra definición. Una familia de morfismos $\{U_i \to X\}$ se llama "bicouvrante" si es una "famille couvrante" y el mapa $\coprod U_i \to \coprod U_i \times_X \coprod U_i$ es un epimorfismo. [Nota: Esto se da para un general categoría de gavillas en un sitio, no gavillas en nuestro sitio afín de Zariski].

Especulación: Supongo que la definición de nLab significa que tenemos una familia de (bi)coberturas de inmersiones abiertas de representables, pero tal y como están las cosas, no tenemos una definición suficientemente buena de una inmersión abierta, o equivalentemente, de un subfuntor abierto.

Parece que la noción de familia de recubrimiento es muy importante, porque ésta es precisamente la condición que requerimos en los espacios algebraicos (si sustituimos nuestros morfismos de recubrimiento por morfismos etale suryectivos de forma inteligente y exigimos que nuestro recubrimiento esté compuesto por representables).

Preguntas

¿Qué significa precisamente "inmersión abierta" en lenguaje categórico? ¿Cómo definimos un esquema precisamente en nuestro lenguaje de gavillas y topologías de Grothendieck? Preferiblemente, esta respuesta no debería depender de nuestro sitio base. La noción de inmersión abierta debe ser una noción que tengamos en cualquier categoría de gavillas en cualquier sitio.

Eisenbud y Harris no responden a esta pregunta por la siguiente razón: se basan en la teoría de esquemas clásica para su definición de subfuntor abierto (lo mismo que una inmersión abierta). Si queremos construir nuestra teoría de los esquemas sin prerrequisitos lógicos, esto es circular.

Una vez que tenemos esta definición, ¿exigimos que nuestra familia de cobertura de inmersiones abiertas sea una "familia de cobertura" o una "familia de bicobertura"?

Además, ¿cómo podemos exponer, en un lenguaje preciso de funtores de puntos, la definición de un espacio algebraico?

Esta última pregunta debería ser una consecuencia natural de las anteriores, siempre que se respondan con suficiente generalidad.

Answer 1

No estoy seguro de que esto te satisfaga, pero un mapa de esquemas es una inmersión abierta si y sólo si es un monomorfismo etale. Etale significa, por definición, formalmente etale y localmente de presentación finita, condiciones ambas que tienen formulaciones sencillas en términos de funtores de puntos, de Anillos a Conjuntos. Asimismo, un mapa de esquemas es un monomorfismo si y sólo si el mapa de funtores subyacentes es un monomorfismo.

Answer 2

Consulte el documento de Kontsevich-Rosenberg espacio no conmutativo. , definieron formalmente la inmersión abierta y la inmersión abierta de manera completamente functorial. Esta definición no tiene nada que ver con la "no conmutativa"

Definición: La inmersión formalmente abierta es un monomorfismo formalmente suave.

Pero una cosa hay que señalar, están trabajando en la categoría Q que es una generalización de las topologías de Grothendieck (el destino es tratar con la topología sin la propiedad de cambio de base).

Answer 3

Estoy teniendo un poco de problemas para obtener exactamente lo que su pregunta es, así que sólo voy a escribir algunas cosas sobre las poleas que parecen estar relacionados con la esperanza de que sean útiles.

Supongamos $C$ es un sitio. Deje $\hat{C}$ sea su categoría de presheaves y $\tilde{C}$ su categoría de poleas. La topología define en el SGA 4, II.5 es en $\hat{C}$, no en $\tilde{C}$ como usted sugiere en su pregunta. Su propósito es dar una topología en $\hat{C}$ de manera tal que la categoría de poleas en $\hat{C}$ (es decir, contravariante functors la satisfacción de descenso en la categoría de contravariante functors en $C$) debe coincidir con la categoría de poleas en $C$ (es decir, $\tilde{\hat{C}} = \tilde{C}$).

Usted tiene la condición de ser bicovering hacia atrás: un mapa de presheaves $H \rightarrow G$ se llama bicovering si cubre (con respecto a la topología en $C$) y su diagonal $H \rightarrow H \times_G H$ también está cubriendo. (¿Qué significa para un mapa de las poleas a cubrir es que para cualquier mapa de $X \rightarrow G$ $X$ representable, el tamiz de $X$ inducida por $H \times_G X$ debería estar cubriendo.)

Un Grothendieck la topología en $C$ es descrito por hacer algunas subfunctors (cribas) de los objetos de $C$ a cubrir. Si $H$ es un subfunctor de $G$, a continuación, la relación de la diagonal mapa automáticamente un epimorphism ya que es un isomorfismo (por definición). La cubierta de tamices de $X$ son los subfunctors de $X$ que se convierten en isomorfo a $X$ al pasar asociadas a las poleas.

El bicovering de negocio surge cuando uno quiere estudiar arbitrarias morfismos de presheaves (no sólo inclusiones) se convierten en isomorphisms al pasar a los asociados las poleas. La noción de una cubierta de morfismos de presheaves explica que morfismos convertido en surjections de las poleas. Entonces la pregunta sigue siendo: que morfismos convertido en inyecciones? Un mapa de las poleas es una inyección si y sólo si su pariente, la diagonal es una surjection, por lo que la condición es que la relación de la diagonal de una cubierta mapa.

Answer 4

Una de morfismos de poleas $f: X \to Y$ en el fpqc la topología en $Aff$ [cubre son finitos universalmente epimorphic familias $(Spec(R_i)\to Spec(R))_i$ $Aff$ con cada uno de los morfismos $Spec(R_i)\to Spec(R)$ plana] es representable por abrir inmersiones de esquemas si y sólo si:

1) para todos los esquemas locales $Spec(R)$ con punto de cierre $Spec(k)$ (en la categoría de $Sh/Y$) los naturales de mapa de $Hom_Y(Spec(R), X) \to Hom_Y(Spec(k), X)$ es bijection [o con la condición 3) a continuación, sólo surjective].

2) es localmente finitely presentó en la presheaf sentido teórico).

3) es una monomorphism.

Notas: a) las Condiciones 1) y 2) son equivalentes a la mapa ser representable por "locales isomorphisms de esquemas" por ejemplo, el mapa de $X \to \mathbf{A}^1$ donde $X$ es afín a la línea con el original doble y el mapa sólo se pliega en el punto del doble. Sin embargo, estos mapas son 'no es bueno' (es decir, que no se ajusten a fpqc descenso).

b) Un esquema es una gavilla $X$ en el fpqc la topología en $Aff$ tal de que no existe una cubierta (en la canónica de la topología en $Sh$) afín esquemas $(Spec(R_i)\to X)_i$ con cada mapa $Spec(R_i)\to X$ satisfing las condiciones anteriores.

c) no he comprobado, pero estoy bastante seguro de que esto va a funcionar con el otro naturales topologías (fppf, etale, Zariski).

Answer 5

No estoy seguro de si esto es lo que está después, pero cuando empecé a mirar Grothendieck-topologías he pensado en ser un abierto de inmersión como una propiedad topológica; de alguna manera debe ser posible recuperar abrir todas las inmersiones de la topología, y si hemos cambiado la topología de la etalé sitio, el mismo método que se nos debe dar la etalé mapas como "abrir inmersiones".

Por desgracia, dudo que esto sea posible (sería una especie de agradable si lo fuera, así que por favor me corrija si estoy equivocado). La razón por la que fui engañado a tratar, fue probablemente debido a la topológico sabor del plazo abierto de inmersión. Pero pasando a la topología de Grothendieck se pierde información acerca de nuestro modelo de cubrir los mapas que hemos empezado. Por ejemplo, si {U_i -> U} es una cubierta, a continuación, una gavilla F satisfacer la gavilla condición también para el conjunto {U_i -> U} U {a -> U}, siendo este último un arbitraria de morfismos.

En su lugar, creo que es más correcto pensar de la propiedad de ser un abierto de inmersión como algo que sabemos lo que está en nuestra categoría de base (afín a los planes) y quiere generalizar a nuestra nueva categoría mayor.

Dicho esto, debemos buscar la definición correcta de abrir la inmersión en nuestra categoría de base. Queremos que sea algo de lo que es el "complemento" de un sistema cerrado de inmersión. Sea F una subfunctor de spec A. Tirando hacia atrás a lo largo de spec A/I -> especificación de Una nos debe de dar el cero esquema. Ahora definir el complemento de spec a/I como la más general subfunctor F de spec a la satisfacción de esta (he.e tomar de la categoría de límite). Yo no he hecho los detalles, pero sospecho que esto le da el derecho concepto y que una descripción concreta de lo que el subfunctor parece que sería como en el ejercicio VI.6 en E-H. de la Ampliación a representable morfismos de poleas (en cualquier razonable topología) es ahora sencilla utilizando pull-backs.