Cálculo de colectores - punto de vista operacional

Question

Soy estudiante de Física y he estado estudiando los colectores y el cálculo de dichos objetos durante un tiempo. Por lo general, cuando nos ocupamos de cálculo vectorial hay libros que aportan un punto de vista operativo. Por ejemplo: el libro de Métodos Matemáticos para Físicos por George Arfken.

Este libro aporta las interpretaciones de todos los objetos, como los vectores propios, las integrales, las operaciones y así sucesivamente, y al mismo tiempo muestra cómo se opera con ellos en la práctica. Cómo manipular los objetos e incluso llevar a abajo cálculos con ellos.

Cálculo de los colectores, por otro lado, es ser un poco más complicado. La razón es que todos los libros que he encontrado hasta ahora centramos sólo en los teoremas y sus demostraciones. No hay nada de malo con ello, por supuesto, esto es muy interesante, pero lo que realmente necesito es operativa que ver con las interpretaciones y así sucesivamente.

Por lo que he visto hasta ahora, al hacer el cálculo de los colectores de uno obtiene una increíble cantidad de trabajo sólo para hacer algunos cálculos: trabajo fuera de los gráficos, es prueba de que son bijections y homeomorphism, es prueba de que se $C^k$ relacionado y así sucesivamente. Esto también me confunde, porque parece mucho más complicado que el cálculo vectorial, incluso, para empezar, mientras que muchas personas dicen que no.

Así, donde puedo aprender este punto de vista operativo de cálculo en los colectores? Significado, aprender a interpretar los objetos exteriores derivados, formas diferenciales y sus integrales, y en el mismo tiempo aprender cómo, en la práctica, llevar a cabo operaciones con los objetos?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

El punto básico del colector de la teoría, el punto en el cual debemos hacer un gran esfuerzo para afirmar en los textos de primaria y de los tratamientos, es que al hacer el cálculo en un colector es la misma que en los $\mathbb{R}^n$ a nivel local. Si usted escribe la fórmula de las funciones de un colector a otro en términos de las coordenadas de los gráficos, a continuación, la forma en que se puede distinguir es el mismo como era de esperar. En definitiva, un colector es sólo un espacio en el que podemos "hacer" cálculo localmente. Una intuitiva pocos puntos en la parte superior de esto:

1. push-forwards son esencialmente el mismo que el problema de la conversión de un PDE de un sistema de coordenadas a otro. Por supuesto, esta es una especialización que supone la misma dimensión en el dominio y codominio, pero sirve para dar algunos familarity.

2. pull-back son esencialmente sólo subsitution de nuevo, por ejemplo si $F(x,y) = (x^2+y^2,y)=(u,v)$ entonces el pull-back de $du \wedge dv$ es simplemente obtenidas por enchufar $u=x^2+y^2$ $v=y$ y el procedimiento por el formal total diferenciación $du = 2xdx+2ydy$$dv=dy$$F^*(du \wedge dv) = (2xdy+2ydy) \wedge dy = 2x dx \wedge dy$.

3. la integración de una forma diferenciada en $\mathbb{R}^n$ realmente equivale a quitar las cuñas y la integración como de costumbre, por supuesto, el álgebra de las formas implicits una orientación de la integral que está ausente en la onu-formado idioma. La orientación es de alguna manera envuelto en las coordenadas de los gráficos y se transfiere a la $\mathbb{R}^n$ cálculos a través de la pull-backs necesarios para definir el colector de integración.

4. tal vez un problema que se puede apreciar más la necesidad de que el formalismo (y deduzco por el cuidado en la redacción de la pregunta que usted no está interesado en las matemáticas puras) es el problema de ecuaciones diferenciales. Tomar para un ejemplo simple $\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$ tenga en cuenta que la ecuación diferencial no está definida para $y=0$, y sin embargo las soluciones $x^2+y^2=R^2$ parecen naturalmente para incluir dichos puntos. De hecho, si nosotros en lugar de mirar a la ecuación diferencial como $\frac{dx}{dy} = \frac{-y}{x}$ $x=0$ es problemático. Sin embargo, intuitivamente, podemos ver ambos casos son coordinar los defectos. Realmente el problema es que estamos usando una clavija cuadrada de un agujero redondo. El círculo es mejor descrito como $\frac{dr}{dt}=0$ por lo tanto $r = R$ en coordenadas polares. Dos preguntas: primero, ¿cuál es el objeto apropiado para las soluciones de captura, en segundo lugar, ¿cuál es el objeto apropiado para la captura de las ecuaciones diferenciales? La mejor respuesta que he visto es dada por el llamado EDS teoría. Aproximadamente, el diferencial de la ecuación diferencial de la forma y la solución es un submanifold. Esto nos da una coordenada invariante manera de ver las ecuaciones diferenciales.

Como me he dedicado a estudiar los colectores, estoy siempre buscando la mejor respuesta a su pregunta. Me gusta que comenzó con un deseo de aprender a "hacer" cálculos en un colector (en el tiempo por el bien de cálculo GR) y estoy de acuerdo en que toma tiempo para desechar estas ideas a partir de los tratamientos estándar. Por supuesto, la física textos sufren el problema opuesto. Un consejo general, usted probablemente ya sabe, la búsqueda de publicaciones sobre la intuición en matemáticas. Estos contienen algo de lo que usted busca.