Encontrar la cantidad de una secuencia aritmética primordial

Question

Necesito encontrar cinco números primos que forman una secuencia aritmética con 6 de diferencia común. Intenté utilizar que 3 es divisor de la diferencia común y congruencia, pero necesito Mostrar de una manera que un estudiante de secundaria puede entenderlo. Ayudar a voluntad aprecia.

Answer 1

Esta es una pregunta que usted necesita para pensar acerca de modulo $30$, pero en realidad son sólo seis casos a considerar, debido a que todo se envuelve alrededor de:

• Obviamente $p_1 \not \equiv 0$ ni $6, 12, 18, 24$.
• Si $p_1 \equiv 1 \pmod{30}$, entonces los otros primos serían $7, 13, 19, 25$, pero un prime puede no ser $25 \pmod{30}$.
• $p_1 \not \equiv 2 \pmod{30}$ debería ser obvio.
• Si $p_1 \equiv 3 \pmod{30}$, entonces los otros primos serían $9$, no, esto no va a funcionar.
• $p_1 \not \equiv 4 \pmod{30}$ debería ser obvio.
• Esto nos deja con $p_1 \equiv 5 \pmod{30}$ como la única posibilidad de que funciona. Pero $p_1$ debe ser real $5$, y no $35, 65, 95, \ldots$

Answer 2

Es preocupante cómo innumerate algunos estudiantes de la escuela secundaria. La respuesta de juan con la congruencia de las relaciones podría volar sobre sus cabezas, aunque parece perfectamente básico para nosotros. Si al menos se puede comprender las variables, podemos reformular la respuesta de Juan y explicar algunos de los detalles que él glosado porque se asume que los estudiantes de la escuela secundaria va a entender (que no compartir su optimismo).

Primero nos etiqueta de los primos más pequeños en la progresión de la $p_1$. A continuación, queremos $p_2 = p_1 + 6$, $p_3 = p_1 + 12$, y así sucesivamente y así sucesivamente a $p_5 = p_1 + 24$, de tal manera que $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$ son todos primos.

Así que, esencialmente, queremos resolver $p_1 = 6k + c$,$0 \leq c < 6$. Claramente, $c = 0$ no va a funcionar porque, a continuación, $p_1$ es un múltiplo de 6 y por lo tanto no es primo. $c = 2$ funciona si $k = 0$ pero, a continuación, $p_2$ aun y así, obviamente, composite. $c = 3$ también funciona si $k = 0$ pero, a continuación, $p_2$ es un múltiplo de 3 y obviamente compuesto. No es necesario para considerar la posibilidad de $c = 4$.

Esto deja sólo dos opciones viables: $c = 1$ o $c = 5$. Usted ya debe saber que 1 no es un número primo, independientemente de si o no usted sabe que la mejor explicación para eso. Así, por $c = 1$ a de trabajo, requerimos $k > 0$. En este punto, es de sentido común que nos interruptor de$6k$$30k$. Tenemos entonces $p_1 = 30k + 7$. Pero, a continuación,$p_4 = 30k + 25$, lo que obviamente es divisible por 5 y mayor que 5, y por lo tanto el compuesto. Nos topamos con un problema similar si tratamos de $p_1 = 30k + 13$ o $30k + 19$ o $30k + 1$.

Finalmente esto nos deja con $c = 5$$p_1 = 6k + c$. Si $p_1 = 30k + 11$,$p_5 = 30k + 35 = 30(k + 1) + 5$, yada, yada, yada, yada, yada, yada, un múltiplo de 5 es inevitable.

Pero hay uno positivo múltiplo de 5 que es la primera, y que es el 5. La única posible solución positiva es $p_1 = 5$. Pero si usted acepta números negativos, hay sólo una solución: $p_1 = -29$.

Answer 3

Consejo: Un buen lugar para empezar es conjetura y cheque para tratar de encontrar un pequeño ejemplo. A partir de $2$ no funcionará como $2+6$ es compuesto. Un problema similar se presenta cuando a partir de $3$. ¿Por qué a partir de $5$?