¿Cuál es la mayor potencia de $3$ que divide $999\dots 999$ ( $300$ $9$ 's)?
He mirado el patrón de $9$ , $99$ , $999$ , $9999$ , $99999\dots 999999999$ y encontró el patrón de que la mayor potencia de $3$ que divide es: $2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 4$
¿Cómo podría trabajar con la factorización primaria de esta gran potencia de $3$ que divide $999\dots 999$ ( $300$ $9$ 's)?
Pistas:
El número es $N=10^{300}-1$ . La pregunta es cuál es la mayor $k$ con $3^k\mid N$ es decir, $10^{300}\equiv1\pmod{3^k}$ . Ahora \begin{align} 10^{300}&=(1+9)^{300}=1+300\times 9+\binom{300}29^2+\binom{300}39^3+ \cdots\\ &=1+2700+81M \end{align} para algunos $M\in\Bbb N$ . Entonces $N\equiv0\pmod{27}$ pero $N\not\equiv0 \pmod{81}$ .
$$ 10^{300}-1=(10^{75}-1)(10^{75}+1)(10^{150}+1) $$
analizando ahora $10^{75}-1 = (9+1)^{75}-1\;\;$ que es divisible por $3^3 = 27$
Conclusión:
10^75 + 1 // FactorInteger
{{7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {211, 1}, {241, 1}, {251, 1}, {2161, 1}, {5051, 1}, {9091, 1}, {78875943472201, 1}, {10000099999999989999899999000000000100001, 1}}
10^150 + 1 // FactorInteger
{{61, 1}, {101, 1}, {601, 1}, {3541, 1}, {9901, 1}, {27961, 1}, {60101, 1}, {261301, 1}, {3903901, 1}, {4188901, 1}, {7019801, 1}, {39526741, 1}, {168290119201, 1}, {14103673319201, 1}, {1680588011350901, 1}, {25074091038628125301, 1}, {38654658795718156456729958859629701, 1}}
por lo que finalmente podemos concluir que el máximo es $3^3$
Su número $N$ puede expresarse como $ N = 10^{300}-1 $
En la formulación general que tenemos para los números de tal forma (aplicando el "pequeño" Fermat y el totiente de Euler y un poco más, ver aquí ) $$ \{10^n -1 ,3\} = [n:1](2 + \{n,3\})$$ (donde la expresión con corchetes $\{a,b\}$ significa el más alto poder al que $b$ se produce en $a$ , a menudo llamado "valoración" o $v_b(a)$ y $[a:b]$ significa $1$ si $b$ divide $a$ y $0$ si no)
esto da $$ \{10^{300} -1 ,3\} = [300:1](2 + \{300,3\})=1\cdot(2+1)=3$$
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Es probable que la factorización primaria sea extremadamente difícil para un número de este tamaño; no es la mejor manera de proceder.
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@LordSharktheUnknown aparte de $3$ s, los otros factores son 7 × 11 × 13 × 31 × 37 × 41 × 61 × 101 × 151 × 211 × 241 × 251 × 271 × 601 × 2161 × 3541 × 4201 × 5051 × 9091 × 9901 × 21401 × 25601 × 27961 × 60101 × 261301 × 2906161 × 3903901 × 4188901 × 7019801 × 39526741 × 168290119201 × 182521213001 × 14103673319201 × 78875943472201 × 1680588011350901 × 25074091038628125301 × 15763985553739191709164170940063151 × 38654658795718156456729958859629701 × 10000099999999989999899999000000000100001