Propiedades del Producto Dígito + Suma de un número

Question

El otro día empecé a jugar con algunas propiedades y noté un patrón que surgía cuando el producto de los dígitos y la suma de los dígitos de un número se sumaban. Por ejemplo, el 15. (1+5)+(1*5) = 11. Si sigues adelante encontrarás una secuencia que pasa por cada número del 1 al 18 exactamente una vez.

Entonces si vas más allá encontrarás que el 19, y de hecho cualquier número de dos dígitos que termine en 9, se refiere a sí mismo. (Por ejemplo, 59 = 5*9 + 5+9) Puedes probar esto sólo usando dos formas de estos números: 10a + b = ab + a + b, que va a 9a = ab, b=9.

Yendo más allá, noté que la forma ab + a + b puede ser reescrita como (a+1)(b+1) - 1. Así que en general, por encima de 19, la propiedad del número es uno más que su dígito de las decenas por uno más que su dígito de la unidad, menos uno.

• 0 se recuerda a sí mismo
• 1 a 18 vueltas en la secuencia 1,2,4,8,16,13,7,14,9,18,17,15,11,3,6,125,10,1...
• 19 se recuerda a sí mismo
• 20 a 29 siguen la forma 3n - 1
• 30 a 39 siguen la forma 4n - 1 Etc...

Me gustaría saber si hay alguna razón en particular para la secuencia del 1 al 18, o si hay algún otro bucle, o si esta secuencia tiene un nombre.

Gracias

Answer 1

La razón principal del bucle en los números < 19 es que todos estos números están atrapados por debajo de 19. De hecho, para cualquier número de dos cifras $10a + b$ tenemos $f(10a + b) = ab + a + b = a(b + 1) + b \le 10a + b$ ya que el dígito máximo es el 9. Así que $f$ es decreciente en números de dos cifras. Esto se rompe para los números de un dígito porque para ellos $a = 0$ pero $f$ ya no sigue la misma expresión. Así, los números de 1 dígito lanzan la secuencia hacia arriba, mientras que los de 2 dígitos la bajan. Pero los números de 1 dígito no pueden tirar más arriba de 18. Al final, atrapado por debajo de 19, tiene que repetirse, y en ese punto tiene un bucle. Es algo aleatorio (ningún resultado en matemáticas es verdaderamente aleatorio) que haya un gran bucle en lugar de 2 o más bucles más pequeños, o incluso un "bucle con cola".

Cualquier otro número de 2 dígitos descenderá finalmente a uno de los números fijos "9", o bien caerá en el bucle de la parte inferior.

Yo nunca he oído hablar de esta secuencia, pero no me extrañaría que alguien la hubiera investigado antes. Gracias por compartirla. Es interesante.