Prueba alternativa de la integral: $\int_0^1 x^x(1-x)^{2x}\,dx\neq3/8$

Question

Estoy investigando la integral: $$I=\int_0^1 x^x(1-x)^{2x}\,dx\neq\frac{3}{8}$$

¿Cómo podría demostrar que esto es cierto? Lo difícil es que la integral $$3/8\lt I<0.37503$$ numéricamente. Conseguí demostrarlo mediante sumas de Riemann, clásicamente, pero ideas como la expansión de Taylor son extremadamente difíciles en este caso...

Answer 1

Esto no es una solución, sino una aproximación. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\frac{3}{8}=0.3750000000$ . La función $f(x)=x^x(1-x)^{2x}$ es convexa en $(0,c_1)\cup(c_2,1)$ y cóncavo en $(c_1,c_2)$ donde $c_1\approx 0.2718247$ y $c_2\approx 0.5243816$ .

De modo que aplicando la desigualdad hermite-hadamard $$\begin{eqnarray} f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) \le \frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \le \frac{{f\left( a \right) + f\left( b \right)}}{2}, \end{eqnarray}$$ que se cumplen para todas las funciones convexas $f$ definido en un intervalo real $[a,b]$ . La desigualdad se invierte si $f$ es cóncava. La desigualdad es aguda en ambos lados.

En nuestro caso $[a,b]=[0,1]$ .

Por lo tanto, On $(0,c_1)$ tenemos

$$\begin{eqnarray} f\left( {\frac{{0 + c_1}}{2}} \right) \le \frac{1}{{c_1 - 0}}\int\limits_0^{c_1} {f\left( x \right)dx} \le \frac{{f\left( 0 \right) + f\left( c_1 \right)}}{2} \end{eqnarray}$$ y escribimos $$\begin{eqnarray} 0.1991787227\le \int\limits_0^{c_1} {f\left( x \right)dx} \le 0.2149827495\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \end{eqnarray}$$

En $(c_2,1)$ tenemos

$$\begin{eqnarray} 0.04452261402\le \int\limits_{c_2}^{1} {f\left( x \right)dx} \le 0.07962031056\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{eqnarray}$$ En $(c_1,c_2)$ , $f$ es cóncava y por tanto la desigualdad de Hermite-Hadamard se invierte, entonces tenemos $$\begin{eqnarray} 0.1155270131\le \int\limits_{c_1}^{c_2} {f\left( x \right)dx} \le 0.1164615612\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \end{eqnarray}$$

Sumando las desigualdades (1)-(3), obtenemos

$$\begin{eqnarray} 0.3581809649\le \int\limits_{0}^{1} {f\left( x \right)dx} \le 0.4110646213 \end{eqnarray}$$ Debido a la agudeza de la desigualdad H.-H., ésta es la mejor aproximación analítica posible, aunque la aproximación de $c_1,c_2$ es casi exacta.

Usando Maple obtengo la solución numérica 0.3750261533 que no es $\frac{3}{8}$ .