Dadas $\omega_i \in \Omega_X(U_i)$ puedo encontrar $f\in {\cal O}_X(\cap U_i)$ lo que $df = \omega_1 - \omega_2$

Question

Como por esta pregunta: la Dualidad algebraica de Rham cohomology estoy tratando de demostrar que el mapa de $H^1(X,\Omega_X) \rightarrow H^2_{\text dR}(X/k)$ donde $X$ es una curva algebraica proyectiva a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$, característica $p \geq 0$.

Yo ya había calculado que el Čech cohomology, y fue en busca de un acceso directo. Sin embargo, se sugirió que Čech cohomology es la mejor manera de hacer esto, y para ser honesto, todavía da lugar a una pregunta interesante (al menos en mi opinión).

Para ser concretos, lo voy a arreglar la cubierta estoy usando: tengo un natural de proyección $\pi\colon X \rightarrow \mathbb P_k^1$, y dejo $U_\infty = X \backslash \pi^{-1}(\infty)$, y del mismo modo para $U_0$.

Entonces $$H^1(X,\Omega_X) = \frac{\Omega_X(U_0 \cap U_\infty)}{\{\omega_0 - \omega_\infty|\omega_i \in \Omega_X(U_i)\}}$$ y $$H^2_{\text {dR}}(X) = \frac{\Omega_X(U_0 \cap U_\infty)}{\{df - \omega_\infty -\omega_0|\omega_i \in \Omega(U_i), f\in{\cal O}_X(U_1\cap U_2)\}}.$$ (Tenga en cuenta que he tomado las restricciones).

Por lo tanto mostrando que $H^1(X,\Omega_X) \rightarrow H^2_{\text{dR}}(X)$ es surjective es equivalente a mostrar que los subespacios estamos quotienting están a la misma, que es equivalente a decir que, dado cualquier $f \in \mathcal O_X(U_0 \cap U_\infty)$ podemos dividir $df$ en dos diferenciales, regular en $U_0$ $U_\infty$ respectivamente.

Para destacar, mi pregunta es

Por qué, dado cualquier $f \in \mathcal O_X(U_0 \cap U_\infty)$, podemos dividir $df$ en dos diferenciales, regular en $U_0$ $U_\infty$ respectivamente?

Answer 1

Así que, probablemente esta no sea la respuesta que se desea, porque en realidad no dicen cómo construir $\omega_0$$\omega_\infty$, pero al menos esta es la razón por la que la afirmación es verdadera. (También no funciona en el carácter $p$, donde no estoy seguro de cómo se comporta bien $H^2_{\text{dR}}$ es.)

Por la secuencia exacta vinculados a la otra pregunta, la dimensión de la $H^2$ está a más de uno. Desde la dimensión de la $H^1(X, \Omega)$ es exactamente uno, sólo tenemos que dar un no-trivial de la clase en $H^2_{\text{dR}}(X)$.

Esto se deduce a partir de los residuos de la teoría de la descripción de la última: Una clase en $H^2$ es representado por un conjunto finito $S$ de los puntos, junto con, para cada una de las $P$$S$, una Laurent-de expansión $f(T)dT$ donde $T$ es un uniformizer en $S$. Un mundial de meromorphic forma da lugar a tal cosa en una forma clara, y esta clase es trivial si puede ser escrita como una suma de una clase viene de un mundial de meromorphic forma y una clase cuya componente en cada una de las $P$ es exacta. Ver mis comentarios en la otra respuesta de cómo extraer esta descripción de la $H^2$ a partir de las definiciones.

Selecciona cualquier punto de $P$ con uniformizer $T$, la clase $(P, dT/T)$ no es trivial: de hecho, cualquier forma exacta (en el anillo local en $P$) residuo cero, y cualquier global de meromorphic formulario tiene la suma de sus residuos igual a cero (teorema de los residuos -- ver Tate de nuevo).

Answer 2

Un amigo ha señalado que Deligne tiene un teorema que indica que la Hodge de de Rham espectral de la secuencia se desvanece en la primera página en característica cero para cualquier liso variedad proyectiva $X$. En particular, esto nos dice que $\dim_k (H_{\text{dR}}^n(X)) = \sum_{p+q=n}\dim_k(H^p(X,\Omega^q))$.

Deligne y Illusie han extendido de este resultado para ciertos casos en los característicos $p$. En particular, el resultado tiene siempre $X$ es un buen proyectivas de la variedad y de la $\dim(X)<p$. Por supuesto, este es siempre el caso en las curvas, y por lo tanto,$\dim_k(H_{\text{dR}}^2(X) )=1$. Desde $H^1(X,\Omega_X) \cong k$ y surjects a $H^2_{\text{dR}}(X)$ se deduce que los espacios son isomorfos.

En particular, ver Relevements modulo $p^2$ et descomposición de du complexe de de Rham por Deligne, Illusie.

También, Frobenius y Hodge degeneración, por Illusie, en Introducción a la teoría de Hodge