La pregunta está más o menos en el título. ¿Cuántos tiros de una moneda justa se necesitan hasta que se consiguen N cabezas seguidas a la expectativa? Tengo curiosidad por saber cómo se demuestra esto en términos de probabilidad (no, esto no es una tarea, sólo curiosidad genuina, ya que es una pregunta que siempre me he preguntado).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje que $p$ es la probabilidad de voltear una cabeza. Dejemos que $x$ ser el número de vueltas necesarias para lograr $h$ cabezas consecutivas. La solución es $E(x)= \frac {1-p^h}{p^h(1-p)}$ .
Esta expresión puede derivarse de la siguiente manera. La probabilidad de tener éxito inmediatamente es $p^r$ . Sin embargo, uno podría obtener una cola inmediatamente. En ese caso, el número de vueltas necesarias es $1+E(x)$ (se ha usado un giro y volvemos a la posición original). Podríamos obtener una cara y luego una cola. En este caso se han usado dos volteretas y volvemos a la posición original. Continúa esto hasta $h-1$ cabezas seguidas de una cola, en cuyo caso $h$ se han usado las volteretas y volvemos a la posición original.
$E(x) = hp^h + (1-p)[E(x)+1] + p(1-p)[E(x)+2] + p^2(1-p)[E(x)+3]+ ... + p^{h-1}(1-p)[E(x)+h]$
$E(x) = hp^h + (1-p) \sum_ {i=0}^{h-1}p^i[E(x)+i+1]$
$E(x) = (1-p^h)E(x)+ \sum_ {i=0}^{h-1}p^i$
$E(x) = (1-p^h)E(x)+ \frac {1-p^h}{1-p}$
$E(x)= \frac {1-p^h}{p^h(1-p)}$
