Es bien sabido que tenemos muchas definiciones diferentes de noetherianity para los anillos. Es decir, dado un anillo de $R$, los siguientes son equivalentes:
1) de todos los ideales de a $R$ es finitely generado.
2) $R$ satisface.c.c. (ascendente de la cadena de condición) en los ideales.
3) todo conjunto no vacío de ideales de a $R$ tiene un elemento maximal.
Me gustaría estado algo similar para los espacios topológicos. En primer lugar una definición: llamamos a un subconjunto cerrado de un espacio topológico irreducible si no puede ser descompuesto en la unión de dos adecuada cerrada por subconjuntos. Ahora quiero probar:
Deje $X$ ser un espacio topológico. A continuación, los siguientes son equivalentes:
1') cada subconjunto cerrado $Y$ $X$ tiene una descomposición $$Y=Y_1\cup\ldots\cup Y_r$$ donde $Y_j$ es irreductible e $Y_j\nsubseteq Y_m$$j\neq m$.
2') $X$ satisface d.c.c. (descendente de la cadena de condición) en subconjuntos cerrados.
3') todo conjunto no vacío de subconjuntos cerrados de $X$ tiene un mínimo elemento.
Tengo una prueba para$2')\rightarrow 3')$$3')\rightarrow 1')$, pero no por $1')\rightarrow 2')$, quizá porque es falso? Me pueden ayudar?
EDIT: condición de $Y_j\nsubseteq Y_m$ $j\neq m$ 1') sólo es necesario para la unicidad de la descomposición, pero estoy que no interesan, por lo tanto podemos saltar. Me gustaría 1') para ser "similar" a 1) en el sentido de que 1) le dice a cada ideal es finitely generado, y 1') que cada subconjunto cerrado tiene un número finito de componentes irreducibles....
