Distribución del calor en un elemento resistivo eléctrico cilíndrico largo

Question

Quiero saber cuál es la temperatura máxima será dentro de un elemento de calefacción. Muy pocos supuestos que se pueden hacer, tales como la constante de conductividad térmica, una constante de resistividad eléctrica, y suponga que la corriente fluye en igual proporción a través de la sección transversal del elemento.

Cómo, por ejemplo, puedo calcular la temperatura en el centro de un elemento de calefacción, donde:

• el radio es 1 cm
• potencia disipada por metro es de 100W
• la temperatura de la superficie es de 100°c
• la conductividad térmica es de 100W/mK

Sería interesante también tener una fórmula para determinar la temperatura en cualquier valor dentro de la radio.

Este enlace da fórmulas para el flujo de calor en una "cáscara cilíndrica", pero dado que el calor es generado a lo largo del elemento de calefacción, más que el centro, creo que no puede ser utilizado.

Mi cálculo es más allá de rusty, pero aquí está mi progreso hasta ahora:

Intento 1: Tomar una simplificado caso: en lugar de tratar con un 2d círculo, resolver una similar dimensiones: una pared de un grosor de 1cm, que en todo su espesor, el calor se genera. Llame al centro de la pared en x=0.

Lógicamente, si la pared de manera uniforme el calor se genera, de la parte externa de su anchura debe pasar más calor que las partes internas. De hecho, la potencia disipada por una sección transversal de la pared es proporcional a la distancia desde su centro.

Y ya que la temperatura a lo largo de cada unidad de anchura es proporcional a la potencia que se disipa, la parte exterior de la pared tendrá un más pronunciado gradiente de temperatura que el interior.

Así que si la pared genera 100W (por metro cuadrado), a continuación, 50W se disipará a cada lado a través de un espesor de 5mm. Cada 1mm de lo que se cree de 10W. El interior de la 5ª disipará 10W, la 2ª a la 5ª disipará 20W, y así sucesivamente, con el exterior de 5 de disipación de 50W.

Dicen que cada 1mm de espesor disipa 1W/°C, la temperatura a través de cada una de 1mm de espesor sería, de interior a exterior, 10°C, 20°C, 30°C, 40°C y 50°C. por Lo tanto la temperatura interior sería la suma de los mayor que la temperatura exterior. (150°C más caliente).

Parece que el descenso de la temperatura en x respecto a x=0 es proporcional al cuadrado de x. No estoy seguro de cómo llegué a eso.

Así que ahora tengo que convertir esto en matemáticas y extender para el caso del cilindro.

Answer 1

Su pregunta es: suponiendo una varilla de radio $R=1$ cm con un fijo de la producción de calor por unidad de volumen, con un total $Q=100$ W/m, temperatura de la superficie del $T_0$ y una conductividad térmica de $\lambda$, ¿cuál es la temperatura de $T(r)$ como una función de la $r$?

En primer lugar, observar que dentro de una cáscara cilíndrica de radio $r$, el total de la producción de calor es $q=Q(r/R)^2$. El gradiente de temperatura en este $r$ valor debe satisfacer $$ \frac{dT}{dr} = -\frac{q}{2\pi\lambda r}=-\frac{Qr}{2\pi\lambda R^2}.$$ (El calor generado dentro de esta concha, en una longitud de $L$$qL$. La zona de la concha es $A=2\pi rL$. El uso de $dT=qLdr/(\lambda A)$.) Resolver esta ecuación diferencial; con la condición de contorno $T(R)=T_0$, nos encontramos con $$ T(r) = T_0 + \frac{Q}{4\pi\lambda}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right). $$ Con los valores de la temperatura en el centro sería 100.08 °C, que suena como que no mucho, pero luego, una conductividad de 100 W/m-K es bastante alta (varilla de bronce).

Answer 2

Si usted tiene no sólo un uniforme de emisores de calor pero a saber, cilindro sólido conductor eléctrico de ciertos no-cero de diámetro, a continuación, considere la posibilidad de que el actual viaja a lo largo de su capa superficial, no a través de las capas internas. Así sucede debido a que todos los electrones están cargados '-' por lo tanto queremos alejarnos el uno del otro. No demasiado áspero para decir que en este sistema, el calor se produce sólo en la capa exterior, pero nada por el interior de las capas. Una vez tomada la condición de límite de T0 en la superficie luego de llegar a la misma temperatura en toda la sección, porque la única manera de que el calor puede entrar en el interior de las capas es la conductividad que sólo puede ir desde una temperatura más alta a más baja. Para mí esta idea funciona si usted no tiene enfriamiento ni la calefacción en el interior del cilindro y si usted trata con el problema.