He preparado una ecuación por mí mismo $z^y$ - $y^z$ = $x^y$ . Esta ecuación tiene infinitas $(0, n, n)$ y $(n, 0, n)$ soluciones para algún número entero positivo $n$ . ¿Puede esta ecuación ser tratada como una ecuación diofantina o no? ¿Cómo podemos encontrar la superficie de esta curva? ¿Hay algún miembro, que tiene una idea para discutir ... plz. Gracias de antemano.
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En $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}$ hay un tercer conjunto de soluciones "triviales": $\{(n-1,1,n)\}$ así como algunas soluciones "esporádicas": $(1,2,3),~(-1,3,2),~(0,2,4)$ . Hay que examinar la existencia de soluciones con $z\ne y>1$ en $\mathbb{Z}$ o con $y\ne1$ más general, pero aún no lo he hecho.
En $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ la ecuación es una superficie con infinitas soluciones. En $\mathbb{R}$ , $$ x = \left(z^y-y^z\right)^{1/y} $$ siempre tiene una solución cuando $z^y-y^z > 0$ es decir para $(y,z)$ en $$ R_1= \left\{ \matrix{ (y,z) \quad: & \\\\ 0 ~ < ~ z ~ < & \infty \\ 0 ~\le~ y ~\le& \min \left( h_1^{-1} \left( h \left( \max \left( e,~ z \right) \right) \right) ,~ z \right) }\right\} \quad \text{or} \quad R_3= \left\{ \matrix{ (y,z) & : \\\\ e &\le& y & < & \infty \\ h_1^{-1}\left(\tfrac{\ln y}{y}\right) &\le& z &\le& y }\right\} $$ donde $h_1^{-1}(y)\le e$ y $h_2^{-1}(y)\ge e$ son las funciones inversas de la restricciones $h_1(z),~h_2(z)$ de $y=h(z)=\frac{\ln z}{z}$ a $I_0\cup I_1$ para $I_0=(0,1],~I_1=(1,e]$ y $I_2=[e,\infty)$ , representados abajo a la derecha en azul y verde respectivamente. Estas son las regiones $1$ & $3$ en el gráfico de abajo a la izquierda que incluyen la línea horizontal que pasa por $(e,e)$ .
Si restringimos aún más $h_1$ a $I_1$ para que $ I_1 \stackrel{h_1}{\longrightarrow} I_0 \stackrel{h_2}{\longleftarrow } I_2 $ , entonces la parte no lineal de la gráfica de la izquierda arriba que separa las regiones $1$ & $2$ de las regiones $3$ & $4$ , una función autoinversa en $(1,\infty)=I_1\cup I_2$ , $$ g(z)=\left\{\matrix{ h_2^{-1}\circ h_1=h_2^{-1}\left(\tfrac{\ln z}{z}\right) \quad&1<z\le e \\ h_1^{-1}\circ h_2=h_1^{-1}\left(\tfrac{\ln z}{z}\right) \quad&e\le z<\infty \\ }\right. $$ es tangente a $yz=e^2$ en $(e,e)$ pero con una menor tasa de crecimiento (decaimiento) como $y\to1$ ( $\infty$ ). Además, para $y=g(z)$ , $$ 0>g'(z)=\left\{\matrix{ \frac{y^2}{z^2} \cdot \frac{1-\ln z}{1-\ln y} =\frac{\ln(\frac{z}{e})/(\frac{z}{e})^2}{\ln(\frac{y}{e})/(\frac{y}{e})^2} && y,~z\ne e \\\\ -1 && y=z=e }\right. $$ mientras que $G(z)=\frac{e^2}{z}$ tiene pendiente $G'(z)=-\frac{e^2}{z^2}$ para que, aún con $y=g(z)$ , $$ \frac{g'(z)}{G'(z)} = - \left(\frac{y}{e}\right)^2 \frac{\ln(z/e)}{\ln(y/e)} \implies -\frac{G'(z)}{g'(z)}\ln\frac{z}{e} =\frac{\ln(y/e)}{(y/e)^2} \le \frac1y $$ utilizando la conocida desigualdad $\ln t\le\frac{t}{e}$ (que se puede demostrar gráficamente) con $t=\frac{y}{e}$ .
Todo lo anterior se deduce de observar que para $y,~z>0,~x=0~\iff$ $$ z^y = y^z \quad\iff\quad y\,\ln z = z\,\ln y \quad\iff\quad \frac{ln y}{y} = \frac{ln z}{z} $$ $$ \iff\qquad h(y)=h(z) \quad\iff\quad W(-\ln y)=W(-\ln z) $$ y analizando la función $h(z)=\frac{ln z}{z}$ en sus intervalos reales máximos de invertibilidad como en el caso anterior. Obsérvese también que $y=g(z) \iff y=z=e$ o $y\ne z$ y $W(-\ln y)=W(-\ln z)$ , donde $W$ es el Función Lambert W . Otros datos sobre $h(z)$ son que su recíproco, $\frac{z}{\log z}$ (donde $\log$ tiene base $e$ ), es la asíntota analítica de la función de recuento de primas $\pi(z)$ , que también está relacionado con el función integral logarítmica . Algunos hechos más son que tiene derivado es $h'(z)=\frac{1-\ln z}{z^2}$ , satisface la ecuación diferencial $(zh)'=zh'+h=z^{-1}$ o $h'+z^{-1}y=z^{-2}$ , y tiene antiderivada $$ H(z)=\int_1^zh(s)ds=\left[\frac12(\ln s)^2\right]_1^z=\frac12(\ln z)^2. $$
En $\mathbb{R}^3$ También hay soluciones cuando $y=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ se expresa en términos mínimos y $p$ es impar, pues entonces, podemos tomar el $p^{\text{th}}$ raíz de $z^y-y^z$ incluso si es negativo: $$ x = \left(z^{p/q}-\left(\tfrac{p}{q}\right)^z\right)^{q/p} $$ Esto tendrá una solución real única $x$ si se cumple una de las varias condiciones...
