Probar cualquier mapa lineal en un subespacio de $V$ puede extenderse a un mapa lineal sobre $V$

Question

Supongamos que V es un espacio vectorial de dimensión finita. Estoy tratando de demostrar que cualquier mapa lineal en el subespacio de V se puede extender a mapa lineal en V.

Básicamente, mostrar que si $U$ es un subespacio de $V$ y $S \in L(U,W)$ entonces existe un $T \in L(V,W)$ tal que $Tu=Su$ para todos $u \in U$ .

Lo intenté tomando la base del subespacio U con Dim(m) y extendiéndola a la base de V con Dim(n). Dado que el mapeo de todos los vectores de la base de W existe y tomando los m-n vectores restantes como cero - obtendremos un mapa lineal a un elemento que está en V definiendo $T \in L(V,W)$ como:

$T(a_1u_1 + ...+ a_mu_m+b_1v_1 + ...+b_nv_n)=a_1Su_1 + ...+a_mSu_m$

Entonces $Tu=Su \space \forall u \in U$

Lo que no entiendo es esto:

1) Por favor, corrígeme si me equivoco, pero un mapa lineal sobre V debería estar definido para todos los elementos de V. Pero, ¿la extensión dentro de $T$ no se limita a los vectores en V con $v_m+1=.....=v_n=0$ ¿excluyendo así los vectores en V donde éstos no son cero?

2) ¿Cómo funciona el $Su$ 's golpeó cada valor en $W$ ?

3) ¿Existe una forma más intuitiva o explicada paso a paso de cómo necesito la ecuación y la condición anterior? No tengo ni idea de por qué se ha elegido así.

Gracias.

Answer 1

Creo que hay una manera mucho más fácil de hacer esto. Deja que $W$ sea un subespacio propio de $V$ . Entonces $W$ tiene una base $\{w_1,\dotsc,w_k\}$ . Un teorema estándar del álgebra lineal dice que esta base para $W$ puede extenderse a una base $\{w_1,\dotsc,w_k,v_1,\dotsc,v_n\}$ para $V$ . Ahora, dejemos que $f:W\rightarrow U$ sea un mapa lineal. Entonces dejemos que $\overline{f}(w_i)=f(w_i)$ para $1\leq i\leq k$ y que $\overline{f}(v_i)=\mathbf0$ para $1\leq i\leq n$ . La extensión lineal da una extensión $\overline{f}:V\rightarrow U$ de $f$ a $V$ .

Answer 2

El OP, supongo, lo sabe, pero en aras de hacer esta pregunta más buscable, este es el ejercicio 3.3 de Axler Álgebra lineal bien hecha (así como la razón por la que estaba buscando preguntas como esta).

Sólo puedo imaginar lo que le hace a uno calificar veinte o treinta pruebas para esto (y para algunos otros resultados), pero aparentemente mi profesor no encontró nada malo en la mía (salvo algunos errores tipográficos, ahora corregidos). Lo pongo porque, por lo que veo, difiere un poco de las soluciones hasta ahora; en concreto, parece un poco más general en el sentido de que no asigna un valor específico para ciertas preimágenes. Sin embargo, todavía estoy lejos de sentirme cómodo con cualquiera de estas cosas, así que si me equivoco en este punto, por favor corregidme. De todos modos -

Porque $U$ es un subespacio de dimensión finita, tiene una base - llámese $B=\left\{u_{1},u_{2},\ldots u_{r}\right\}$ . Además, como $B$ es linealmente independiente en $V$ se puede ampliar a una base para $V$ - decir, $B^{\prime}=\left\{ u_{1},\ldots u_{r},v_{r+1},\ldots v_{s}\right\}$ . Desde $B^{\prime}$ también es linealmente independiente, podemos formar una base para otro subespacio, $V^{\prime}$ con los vectores en $B^{\prime}\backslash B=\left\{ v_{r+1},\ldots v_{s}\right\}$ . Sea $T^{\prime}\in\mathcal{L}\left(V^{\prime},W\right)$ . Ahora definimos $T:V\rightarrow W$ tal que $T\left(v\right)=S\left(u\right)+T^{\prime}\left(v^{\prime}\right)$ . Porque $U$ y $\text{span}(B^{\prime}\backslash B)$ son subespacios de $V$ Ambos pertenecen a $\mathcal{L}\left(V,W\right)$ también; y como $\mathcal{L}\left(V,W\right)$ forma un espacio vectorial, $S+T^{\prime}=T$ también es lineal. Dado que cada $u\in U$ puede escribirse en $V$ como $a_{1}u_{i}+\ldots+a_{r}u_{r}+b_{r+1}v_{r+1}+\ldots+b_{s}v_{s}$ , donde $a_{i}\in\mathbb{F}$ y $b_{j}=0$ , $T\left(u\right)=S\left(u\right)+T^{\prime}\left(0\right)=S\left(u\right)$ .

Answer 3

Creo que introducir el mapa de proyección es más intuitivo. Dado un espacio vectorial $V$ un mapa lineal $P: V \to V$ se dice que es una proyección lineal si $P^{2} = P$ . Como consecuencia de esta definición, dado un subespacio $U$ de $V$ existe una proyección lineal $P:V \to V$ tal que $P(V) = U$ . Para demostrar que esto no es difícil, basta con considerar $U'$ un complemento lineal de $U$ Así que $V = U\bigoplus U'$ y dado $v \in V$ podemos expresar de forma única $v = x + y$ donde $x\in U$ , $y\in V$ Finalmente, defina $P(v) = x$ y demostrar que $P$ es lineal y $P^{2} = P$ .

Para responder a la pregunta, basta con definir $T:V \to W$ como $T = S\circ P$ . Tenga en cuenta que $T(u) = S(u)$ para todos $u \in U$ .