Mostrar que $\phi(x) = 1$ si $x$ es una unidad en un dominio integral

Question

Supongamos que $D$ es un dominio integral y que $\phi$ es una función no constante de $D$ a los enteros no negativos tales que $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$. Si una unidad en $x$ $D$, muestran que el $\phi(x) = 1$.

Answer 1

Sugerencia: en Primer lugar demostrar que si $e$ es el elemento de identidad, a continuación,$\phi(e)=1$. Esto debe ser una fácil consecuencia de $ee=e$.

A continuación, utilice el hecho de que si $x$ es una unidad, y $y$ es la inversa de a$x$,$\phi(e)=\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$.

Agregado: es muy fácil olvidarse de la posibilidad de que $\phi$ toma el valor de $0$. Deje $\phi(e)=a$. Entonces a partir de la $e=e^2$,$\phi(e)=\phi(e^2)=\phi(e)\phi(e)$. Por lo $a^2=a$. Por lo tanto $a=0$ o $a=1$. Si $a=0$, entonces para cualquier $x$, $\phi(x)=\phi(e)\phi(x)=0$.Pero nos dijeron $\phi$ no es constante. por lo $a=1$.

Answer 2

% Toque $\, $por multiplicativity, $\rm\:\phi\:$ conserva $1$ y divisibilidad, así conserva divisores de $1$ (= unidades).

$\rm(1)\quad \phi\ $ Conservas $\:1!:\ $aplicar $\rm\:\phi\:$ $\rm\:1^2 = 1\ $ $\rm\ \phi(1) = 1.$ de deducir

$\rm(2)\quad \phi\ $ conserva divisibilidad: $\rm\,\ a\mid c\:\Rightarrow\:ab=c\:\Rightarrow\:\phi(a)\,\phi(b)=\phi(c)\:\Rightarrow\:\phi(a)\mid \phi(c)$

$\rm(3)\quad \phi\ $ conserva unidades: $\rm\,\ u\ $ $\rm\:\Rightarrow\:u\mid 1\,\ \smash{\stackrel{(2)}{\Rightarrow}}\,\ \phi(u)\mid \phi(1)\ \smash{\stackrel{(1)}{=}}\ 1\:\Rightarrow\:\phi(u)\:$ unidad