En 250 página de Scorpan el libro Salvaje mundo de 4-variedades. hay una construcción de un exótico $\mathbb{R}^4$. Se inicia de la toma del colector de $M = \mathbb{C}P^2 \# 9 \overline{\mathbb{C}P}^2$ y considerando un elemento $\alpha \in H_2(M;\mathbb{Z})$ que abarca $[+1]$ asociado a la intersección de la forma $Q_M = -E_8 \oplus [-1] \oplus [+1]$ ( $Q_M(\alpha, \alpha) = 1$ ). A continuación, se afirma que por Casson asas podemos representar a $\alpha$ por un topológicamente embebidos en la esfera de $\Sigma$ $M$ y a través de la construcción de tales Casson mango podemos encontrar su barrio que es homeomórficos a $+1$-disco paquete de más de $S^2$. Lamentablemente, no hay ninguna referencia de ese resultado y no puedo ver cómo dadas en el libro de la exposición en Casson maneja puede implicar que hecho. A primera vista pensé que podría ser la conclusión de Casson la Incrustación Teorema declaró a continuación, pero no veo la manera de los supuestos que se pueden aplicar al caso descrito.
Voy a estar agradecido por referencia al teorema que implica que y explicación ¿cómo se supone que.
Por otra parte ¿este enfoque a través de Casson maneja generalizar? Es decir, es cierto que para cada cerrado, simplemente conectado, orientado $4$-colector para cada $\alpha \in H_2(M; \mathbb{Z})$ podemos encontrar topológicamente incrustado esfera $\Sigma$ en representación $\alpha$ de manera tal que su barrio es homeomórficos a $Q_M(\alpha, \alpha)$-disco paquete de más de $S^2$?
(Casson la Incrustación Teorema) Deje $M$ ser simplemente conectado a $4$-colector, con los no-vacío límite. Deje $f_1, \ldots , f_n$ ser inmersiones $f_i:D^2 \to M$ tal que $f_k|_{\partial D^2}$ son disjuntas incrustaciones en $\partial M$.
Supongamos que, al $i \neq j$, tenemos números de intersección $f_i \cdot f_j = 0$. Además, suponga que hay clases de $\alpha_1,\ldots, \alpha_n \in H_2(M; \mathbb{Z})$ tal que $\alpha_k \cdot f_k = 1$ pero $\alpha_i \cdot f_j = 0$ si $i \neq j$, y para que todos los auto-intersecciones $\alpha_k \cdot \alpha_k$ son incluso.
Entonces no debe existir distintos abrir conjuntos de $C_1, \ldots, C_n$ tal forma que:
- hemos adecuado homotopy equivalencias $(C_k, C_k \cap \partial M) \sim (D^2 \times \mathbb{R}^2, \partial D^2 \times \mathbb{R}^2)$,
- $C_k \cap \partial M$ tubular abierta de neigborhoods de los círculos $f_k[\partial D^2]$$\partial M$,
- $f_k$ son homotópica, en relación a su límite de $S^1$, a un mapa en $C_k$.
