El laplaciano es el único operador de 2º orden invariante en traslación y rotación

Question

Cómo demostrar que el Laplaciano es el único operador de 2º orden invariante en traslación y rotación tal que $L0=0$ ?

He demostrado que es invariante en rotación y traslación pero no he podido demostrar la unicidad.

Answer 1

Como sospechaba, esta pregunta no está clara.

La pregunta puede formularse de forma más precisa como Sea $L[u](x)=\sum_{ij} a_{ij}(x)D_{ij}u(x)+\sum_i b_i(x)D_iu(x)+c(x)u(x)$ sea un operador invariante de traslación y rotación, demuestre que $L[u]=\lambda\Delta u+cu$ donde $\lambda$ y $c$ son constantes.

Acabo de demostrar que $b=0$ y $c=k=constant$ pero aún no podía probar que $a_{ij}=\lambda \delta_{ij}$ . En primer lugar, ser invariante en traslación y rotación significa que $$ L[u\circ T](x)=Lu\circ T(x)\;(*) $$ para toda traslación o rotación $T$ . Tomando $u\equiv k=constant$ y utilizando la hipótesis (*) obtenemos $c(x)\cdot k=c(T(x))\cdot k$ para cualquier traslación $T$ así que $c$ es constante. Tomando ahora $u(x)=x_k$ , $k=1,...,n$ y $T$ para ser la traducción $T_v(x)=x+v$ obtenemos $u\circ T(x)=u(x+v)=x_k+v_k$ de donde $D_k(u\circ T)=1$ y, como antes, $b(x)=b(T(x))$ Así que $b$ es constante. Ahora para concluir que $b_k=0$ aplicando la hipótesis a la rotación $T(x)=-x$ y $u(x)=x_k$ otra vez.

Queda por demostrar que $a_{ij}=\lambda \delta_{ij}$ .

La idea es tomar $u$ como algo con grado dos, digamos, $u(x)=x_k\cdot x_l$ o algo así y la rotación como siendo $T(x)=(x_1,...,-x_k,...,x_n)$ es decir, la reflexión sobre la $k$ - enésimo eje.

Todavía no sé cómo concluir, ¿podría alguien ayudarme?

Answer 2

Supongo que ya te habrás imaginado la respuesta, pero si alguien todavía quiere saberlo podrías proceder mostrando algo así como que si R es una matriz de rotación que actúa sobre x, entonces para todas las funciones u, $L[u\circ R]=\sum_{ij} a_{ij}(x)D_{ij}u(Rx)=\sum_{ij}a_{ij}\sum_{kl}R_{ik}R_{jl}D_{kl}u(x)=\sum_{kl}\left(\sum_{ij}R_{ik}R_{jl}a_{ij}\right)D_{kl}u(x)$ sustituyendo algunas funciones de prueba con un comportamiento cuadrático especificado en algún punto $x_0$ entonces debe dar $a_{kl}=\left(\sum_{ij}R_{ik}R_{jl}a_{ij}\right)$ de modo que el resultado sigue la invariancia rotacional de $a_{ij}$ .