Constante Lipschitz del límite de funciones

Question

Considerar dos espacios métricos $(X,d_X)$ $(Y,d_Y)$ y definir la constante de lipschitz de cada función continua $f:X\rightarrow Y$

$$Lip(f):=\sup\limits_{x\neq y}\frac{d_Y(f(x),f(y))}{d_X(x,y)}$$

Considere la posibilidad de una secuencia de funciones continuas $f_n:X\rightarrow Y$ tal que

• hay un $k>1$ tal que para cada a $n\in \mathbb{N}$ $Lip(f_n)\le k$

• $\{f_n\}$ limit $f:X\rightarrow Y$ para la convergencia uniforme en compacto conjuntos (esto significa que por cada $K\subset X$ compacto que los resultados de la $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup\limits_{x\in K}d_Y(f(x),f_n(x))=0$)

• $Lip(f_n)\rightarrow 1$

Pregunta: ¿sigue las $Lip(f)=1$? Puede motivar a su respuesta?

Lo siento si no me muestran mi razonamiento, pero no puedo entender aún si la afirmación es verdadera o no

Answer 1

Deje$X = Y = \mathbb R$ y$f_n = 1$ en$[-n,n]$,$f_n = 0$ en$[-n-1, n+1]^c$ y afine lineal con pendiente$\pm 1$ en$[-n-1,-n] \cup [n,n+1]$. Entonces$Lip(f_n) = 1$, la convergencia uniforme en conjuntos compactos se mantiene con$f = 1$, pero$Lip(f) = 0$.