Más identidades del tipo factorial doble de Ramanujan.

Question

Ramanujan descubrió la siguiente identidad

$$x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left[\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^3=\left[\dfrac{\Gamma\left(\frac98\right)}{\Gamma\left(\frac54\right)\Gamma\left(\frac78\right)}\right]^{2}$$

que contenía los dobles factoriales . ¿Existen más identidades de este tipo? o probablemente su generalización.

Answer 1

Una posible clase de tales factorial doble al cuadrado sumas sólo viene directamente de la $_2F_1$ expansión hipergeométrica de $K = K(k)$ es decir,

$$\frac{2 K}{\pi} = {}_2F_1\left(\frac12,\frac12;1;k^2\right) = \sum_{n \geq 0} \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^2 k^{2n}\tag{1}$$

Aplicando respectivamente Transformación de Kummer y luego Transformación de Clausen da una clase factorial cubo-doble

\begin{align*}\frac{4K^2}{\pi^2} & = {}_3F_2 \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1;(2kk')^2\right) \\ & = \sum_{n \geq 0} \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^3 (2kk')^{2n} \tag{2} \end{align*}

Esta es la clave para La identidad de Ramanujan y presumiblemente esto responde a su pregunta sobre generalizaciones . Otra clase cúbica es

$$\sum_{n\geq0} \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^3\!\!\!(6n+1)(2kk')^{2n}=\frac{4K(k)^2}{\pi^2}+\frac{24K(k)}{\pi^2}\left[\frac{E(k)-k' K(k)}{(1-2k^2) } \right] \tag{3}$$

Una consecuencia interesante es la identidad

$$\frac{4}{\pi}=\sum_{n\geq 0} \frac{6n+1}{4^n} \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^3$$

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Prueba de $(2)$ $:$ La transformación de Kummer nos da, en general

$$_{2}F_{1}(2a, 2b; a+b+1/2; x) = {}_{2}F_{1}(a, b; a+b+1/2; 4x(1-x))$$

Así que la inserción de $(a, b, x) = (1/4, 1/4, k^2)$ da claramente

$$_2F_1(1/2, 1/2; 1; k^2) = {}_2F_1(1/4, 1/4; 1; 4k^2k'^2) \tag{+}$$

El truco ahora es cuadrar el lado derecho de $(+)$ y utilizar Transformación de Clausen para señalar que

$$\left[_2F_1(1/4, 1/4;1;4k^2k'^2)\right]^2 = {}_3F_2(1/2,1/2,1/2;1,1;4k^2k'^2)$$

Dando por fin la igualdad, y demostrando así $(2) \;\;\; \blacksquare$

Prueba de $(3)$ $:$ Diferenciando $(2)$ con respecto a $k$ da

$$\frac{4(1-2k^2)}{k'}\sum_{n \geq 0} (2kk')^{2n-1} \cdot n \cdot \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^3 = \frac{8KK'}{\pi^2}$$

Donde $K' = \frac{d}{dk}K(k)$ . Lo anterior es claramente equivalente a

$$\sum_{n \geq 0} (2kk')^{2n} \cdot n \cdot \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^3 = \frac{4KK'}{\pi^2}\frac{kk'^2}{1-2k^2}$$

Multiplicando lo anterior por $6$ y añadiendo a $(2)$ junto con el $K$ -fórmula de diferenciación

$$K'(k) = \frac{E(k) - k'^2K(k)}{kk'^2}$$

Da la igualdad deseada de $(3)\;\;\;\blacksquare$