Mostrar $(NM)/M \cong N/(N\cap M)$ para $N,M \triangleleft G$

Question

Este es el problema 2.7 #6 de la segunda edición del libro de Herstein Temas de álgebra .

Si $N,M$ son subgrupos normales de $G$ demuestre que $(NM)/M \cong N/(N\cap M)$ .

¿Alguna pista en la dirección correcta?

Answer 1

Directamente y sin darle muchas vueltas, defina:

$$\phi: NM\to N/(N\cap M)\;\;\text{by}\;\;\phi(nm)=n(N\cap M)$$

(1) Demostrar que el mapa está bien definido, es decir: $$nm=n_1m_1\implies \phi(nm)=\phi(n_1m_1)$$

(2) ¿Cuál es el núcleo de $\,\phi\,$ ?: $\,n(N\cap M)=N\cap M\iff n\in N\cap M\iff\ldots\,$

(3) Demuestre que $\,\phi\,$ está en

(4) Aplica el primer teorema de isomorfismo...

Nota: si lo desea, puede definir $\,\phi(nm):=m(N\cap M)\,$ ...funciona igual.

Answer 2

He aquí una forma intuitiva y directa de ver el isomorfismo. Obsérvese que para $n \in N$ , tienes $n(N \cap M) = nN \cap nM = N \cap nM$ . Así que en $N/N \cap M$ la multiplicación tiene este aspecto:

$(N \cap nM)(N \cap n'M) = N \cap nn'M$

También, $N \cap nM = N \cap n'M$ sólo si $nM = n'M$ .

Así, se puede pensar en el grupo $N/N \cap M$ como el grupo de elementos $nM$ (donde $n \in N$ ) bajo multiplicación. Pero éste es el grupo $NM/M = \{nM : n \in N\}$ . Encontrar un isomorfismo $\phi: N / N \cap M \rightarrow NM/M$ debería ser fácil ahora.

Por supuesto, podrías saltarte todo esto y simplemente aplicar el primer teorema de isomorfismo como en la otra respuesta.

Answer 3

Pista I : Consideremos el homomorfismo $\phi: G\to G/M$ .
Pista II : Si $N\le G$ entonces $\phi(N)=NM/M$ .
Pista III : El núcleo de $\phi$ es... ¿qué? ¿Y cuál es la intersección del núcleo con $N$ ?
Pista IV : Tenemos $\phi:N\to NM/M$ Entonces, ¿qué nos dice el teorema del isomorfismo?

Pista V : La respuesta a III es $N\cap M$ y el teorema del isomorfismo nos dice que $N/N\cap M\cong \phi(N)$ .

Salvo errores. Gracias de antemano.

Answer 4

Pista 1:

El teorema final de la sección 2.7 dice: (parafraseado)

Si $\phi : G \to \bar{G}$ es un homomorfismo, $\bar{N}$ es un subgrupo normal de $\bar{G}$ y $N$ es la preimagen de $\bar{N}$ en $\phi$ entonces $G/N \cong \bar{G}/\bar{N}$ .

Con esto en mente, intenta diseñar un homomorfismo $\phi : NM \to N$ donde $M$ es la preimagen de $N\cap M$ en $\phi$ . Entonces, por el teorema $(NM)/M \cong N/(N\cap M)$ .

Tenga en cuenta que debe justificar que $NM$ es efectivamente un grupo y que $N\cap M$ es un subgrupo normal de $N$ para que se aplique el teorema.

Pista 2:

Si estás atascado, prueba con el homomorfismo $\phi(nm) = n$ . Demostrar que $M$ es efectivamente la preimagen de $N\cap M$ debajo de ella.