Funciones armónicas en $S^2$

Question

Considerar la esfera de $S^2 = \lbrace (x,y,z) :\ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \rbrace$. Este es un buen colector en $\mathbb{R}^3$, y para un punto dado,$s \in S^2$, se puede considerar que su coordenada barrio.

Hay muchas maneras de poner una suave estructura en $S^2$, pero todos requieren al menos dos coordinar los barrios. Una forma sencilla es hacer uso de las coordenadas locales $\theta, \phi$ (ángulo azimutal y ángulo de inclinación). Para $s \in U = S^2 \setminus {(0,0,1), (0,0,-1)}$, definir una coordenada mapa

$ g : (0,2\pi) \times (0,\pi) \rightarrow U $

con la fórmula dada por

$ g(\theta, \phi) = (\sin(\phi) \cos(\theta), \sin(\phi) \sin(\theta), \cos(\phi)) $

Este mapa es uno-a-uno, en, y bicontinuous, por lo que es un homeomorphism. Uno puede construir una similar mapa en $V = S^2 \setminus {(1,0,0),(-1,0,0)}$, por lo que la esfera está cubierta. El hecho de que de esta forma se define una estructura diferenciable es fácil de trabajar.

La pregunta que yo quiero preguntar es, ¿hay alguna que no sea constante de soluciones a la ecuación

$ \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} = 0 $

donde $f : S^2 \rightarrow R$ es una función suave.

Además, ¿qué tipo de condiciones de contorno son necesarias en orden a garantizar la unicidad.

Answer 1

Si entiendo tu pregunta correctamente, son conscientes de que $\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$ no es realmente el Laplaciano en una esfera, pero quiero saber si hay alguna que no sea trivial suave funciones en $S^2$ que son armónicas con respecto a esta modificación de la Laplaciano. La respuesta es no.

Una función de $f(\theta,\phi)$ que satisface $\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} = 0$ es realmente una función armónica en el rectángulo $[0,2\pi] \times [0,\pi]$, que se proyecta sobre la esfera a través de $g^{-1}$. La continuidad en la esfera requiere que $f(\theta,0) = \text{const}$ (continuidad en el polo norte), $f(\theta,\pi) = \text{const}$ (continuidad en el polo sur), y $f(0,\phi) = f(2\pi,\phi) = h(\phi)$ algunos $h:[0,\pi]\rightarrow \mathbb{R}$ (la continuidad entre el meridiano de greenwich). Para cualquier $h$, las condiciones de frontera son independientes de $\theta$, lo $f$ es una función de $\phi$ solo. Pero, a continuación, $\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} = 0$ implica que el $f$ es lineal en $\phi$. Si la pendiente es cero, $f$ sobre la esfera no es suave en los polos. Por lo tanto, para $f$ a ser suave en la esfera y satisfacer $\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} = 0$, tiene que ser constante.

Answer 2

Desde $f$ es una función suave de $S^2\to \mathbb{R}$, es una función suave en el gráfico de coordenadas. Es fácil ver que por periodicidad, usted también tiene que $f$ es una función suave de $S^1\times(0,\pi)\to\mathbb{R}$.

Desde $f$ es suave en $S^2$, de los límites

$$ \lim_{\phi \to 0, \pi} \frac{1}{\sin \phi} \frac{\partial}{\partial \theta} f $$

deben existir y ser finito: este es el requisito de que $f$ es suave en "la otra carta". Por lo tanto, usted tiene que $\partial_\theta f \to 0$ $\phi$ enfoque de cualquiera de los límites.

Su ecuación, sin embargo, requiere que el $\partial_\theta f$ ser un armónico de la función en $S^1\times (0,\pi)$, un dominio compacto con límite. Utilizando el principio del máximo, usted tiene que $\partial_\theta f = 0$ en todas partes. Conectar de nuevo en la ecuación, esto implica $\partial^2f/\partial \phi^2 = 0$.

Y por lo $f$ debe ser una función lineal en $\phi$. Y ahora podemos aplicar la suavidad de la restricción de nuevo:

En el polo norte, suavidad, será necesario que

$$ \lim_{\phi \to 0} \partial_\phi f(\theta,\phi) = \lim_{\phi \to 0} \frac{1}{\sin \phi} \partial_\theta f(\theta + \pi/2, \phi) = 0$$

lo que implica que la constante de la pendiente de la función lineal $f(\phi)$ es 0. Y, por tanto, $f$ debe ser la función constante.