Suma de dos variables generalizadas de Laplace (o de Gauss)

Question

¿Hay algo bueno que puedo decir de la suma de dos independiente generalizada Laplace variables, con diferentes escalas y tamaños? es decir, son que ellos mismo distribuyen como otra variable de Laplace generalizada con alguna función de los momentos, etcetera.

Edit: el PDF de generalizadas {Laplace o gaussiano} es: $f(x) = C\exp{-|(x-\mu)/a|^b}$ $a$ es la escala donde y $b$ es la forma ($C$ es una constante de normalización).

Gracias.

Answer 1

Realmente he encontrado un documento que responde a mi pregunta y la respuesta es, como han señalado los usuarios, que el resultado no es GGD. Sin embargo, se puede decir algo sobre la similitud de la suma a un RMU.

Qian Zhao; Li Hong-wei; Tong Yuan Shen, "en la suma de las señales al azar Gaussian generalizadas," procesado de señal, 2004. Procedimientos. ICSP ' 04. 2004

Answer 2

No estoy seguro de que hay mucho bueno que decir acerca de ella: no me reconoce el carácter de $X + Y$, y no puede encontrar una manera de manipular la misma forma generalizada.

Tomando la función característica de la generalizada variable aleatoria normal $X$ como se da en (2.2) de Pogany y Nadarajah, observando un cambio en los nombres de parámetro para que coincida con los utilizados en la pregunta:

$\phi_X(t) = \frac{e^{it\mu}}{\Gamma(1 / b)}\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{\Gamma(2m/b+1/b)}{\Gamma(2m+1)}(-1)^m(at)^{2m}$

(He cambiado la fórmula ligeramente para facilitar la diferenciación, y se sustituye un factor de 2 que el papel perdido en la manipulación algebraica.)

A continuación, encontrar la característica de la suma como el producto de sus respectivas funciones características:

$\phi_{X+Y}(t) = \frac{e^{it\mu_X}}{\Gamma(1 / b_X)}\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{\Gamma(2m/b_X+1/b_X)}{\Gamma(2m+1)}(-1)^m(a_Xt)^{2m}\frac{e^{it\mu_Y}}{\Gamma(1 / b_Y)}\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{\Gamma(2m/b_Y+1/b_Y)}{\Gamma(2m+1)}(-1)^m(a_Yt)^{2m}$

$=\frac{e^{it(\mu_X + \mu_Y)}}{\Gamma(1/b_X)\Gamma(1/b_Y)}\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{\Gamma(2m/b_X+1/b_X)}{\Gamma(2m+1)}(-1)^m(a_Xt)^{2m}\sum\limits_{m=0}^\infty\frac{\Gamma(2m/b_Y+1/b_Y)}{\Gamma(2m+1)}(-1)^m(a_Yt)^{2m}$

Podemos usarlo para encontrar los momentos de $X+Y$, pero como el chico señala, que no nos dice nada que no sepamos ya de la independencia de $X,Y$.