Es bien sabido que $153$ es un número narcisista; es decir, es igual a la suma de los cubos de sus dígitos desde $153=1^3+5^3+3^3$.
Otras bases tienen números similares. Por ejemplo, en % base $3$, diecisiete es $122$; y en % base $4$, 35 $203$.
Que $B_3$ ser el conjunto de bases con ningunos tales números de tres dígitos [editar]. Son de los dos primeros miembros de $B_3$ $2$ y $72$.
¿Por qué es cada miembro de $B_3$ excepto $2$ un múltiplo de $9$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Prueba por arte de magia:
$$ \begin{eqnarray} (k+1)^3 & + & 0^3 & + & (2k+1)^3 & = & (3k+1)^2 (k+1) & + & (3k+1)0 & + & (2k+1) \\ k^3 & + & 0^3 & + & (2k+1)^3 & = & (3k+2)^2k & + & (3k+2)0 & + & (2k+1) \\ (5k+1)^3 & + & (4k+2)^3 & + & (6k+2)^3 & = & (9k+3)^2(5k+1) & + & (9k+3)(4k+2) & + & (6k+2) \\ (7k+5)^3 & + & (2k+1)^3 & + & (6k+4)^3 & = & (9k+6)^2(7k+5) & + & (9k+6)(2k+1) & + & (6k+4)\\ \end{eqnarray} $$
Las dos primeras identidades mostrar que cualquier base no divisible por $3$ admite al menos una de tres dígitos narcisista número; con la única excepción de base $2$ (el número que resulta de la segunda identidad se $001$; no adecuada de tres dígitos). Las otras dos líneas de la cubierta bases que son múltiplos de tres, pero no múltiplos de $9$; demostrando una vez más que cada uno de ellos admite al menos un narcisista número. Por lo tanto, sólo las bases que son múltiplos de $9$, posiblemente, puede no admitir cualquier narcisista número (bueno, aparte de base $2$, por supuesto).
