Estoy considerando la suma $$ A_m = \sum_{j=0}^m \sin^4\left(\frac{j}{m}\cdot\frac{\pi}{2}\right). $$ Creo que para $m>1$ tiene $$ A_m = \frac{3m+4}{8}, $$ pero no puedo llegar a ella.
Respuesta
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Empieza por linealizar $\sin^{4}(x)$ :
$$ \forall x \in \mathbb{R}, \, \sin^{4}(x) = \frac{1}{8}\Big( \cos(4x) - 4\cos(2x) + 3 \Big). $$
Esto conduce a :
$$ \sum_{j=1}^{m} \sin^{4}\Big( \frac{j\pi}{2m} \Big) = \frac{1}{8}\Bigg( \sum_{j=1}^{m} \cos\Big( \frac{2j\pi}{m} \Big) - 4 \sum_{j=1}^{m} \cos\Big( \frac{j\pi}{m} \Big) + 3m \Bigg). $$
Las sumas $\displaystyle \sum_{j=1}^{m} \cos\Big( \frac{2j\pi}{m} \Big)$ y $\displaystyle \sum_{j=1}^{m} \cos\Big( \frac{j\pi}{m} \Big)$ puede calcularse utilizando números complejos. Para $z \in \mathbb{C}$ , $\Re(z)$ denota la parte real de $z$ . De hecho, hay que tener en cuenta que :
$$ \sum_{j=1}^{m} \cos \Big( \frac{2j\pi}{m} \Big) = \Re\Bigg( \sum_{j=1}^{m} e^{2ij\pi / m} \Bigg). $$
y, como $\exp(2i\pi /m) \neq 1$ para todos $m$ tenemos :
$$ \sum_{j=1}^{m} e^{2ij\pi / m} = e^{2i\pi / m} \frac{1 - \big( e^{2i\pi / m} \big)^{m} }{1 - e^{2i\pi / m} } = 0. $$
De manera similar: $\displaystyle \sum_{j=1}^{m} \cos\Big( \frac{j\pi}{m} \Big) = -1$ .
Como consecuencia :
$$ \sum_{j=1}^{m} \sin^{4}\Big( \frac{j\pi}{2m} \Big) = \frac{1}{8}(3m+4). $$
