Politopos e hipersuperficies suaves de Fano

Question

Esta es una pregunta bastante extensa, así que intentaré hacerla lo más compacta y legible posible. Estoy intentando practicar con el software Macaulay2, en particular con los paquetes de poliedros y normaltoricvariedades. Del documento dado aquí: http://arxiv.org/pdf/1209.3186v3.pdf En este caso, he utilizado el politopo del ejemplo 14, que es un politopo fano liso en 4 dimensiones. Introduciendo esto como la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Sin embargo, cuando introduzco esto en Macaulay2, y construyo una variedad tórica normal usando esto, devuelve falso cuando se le pregunta si es suave. Sin embargo, (cf. Teorema 2.4.3 de CLS), sabemos que una variedad proyectiva correspondiente a un politopo liso debe ser lisa. Entonces, ¿cómo me he equivocado aquí?

Además, por definición, uno construiría una hipersuperficie Calabi-yau a partir de un politopo reflexivo tomando la sección de la gavilla del divisor anticanónico, que está garantizado que es cartier y amplia, cuando se trabaja con variedades fano tóricas de Gorenstein. ¿Cómo se construiría esto explícitamente en Macaulay2, partiendo de un poliedro?

Finalmente, es sencillo calcular el número de Hodge computacionalmente según la ecuación (2.1) en http://arxiv.org/pdf/1411.1418v1.pdf . ¿Cómo se podría calcular esto utilizando las funciones incorporadas de cálculo de los números de Hodge?

Cualquier ejemplo explícito sería útil.

Gracias.

Answer 1

Publicar esto como una respuesta porque es demasiado largo para los comentarios.

A continuación se muestran las sesiones de SAGE que he utilizado para el cálculo.

M = matrix([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1],[1,-1,0,0],[-1,1,0,0],[-1,0,0,0],[0,-1,0,0],[1,-1,-1,0],[-1,1,0,-1]])
P = Polyhedron(M); P
L = LatticePolytope(M.rows()); L
print L.poly_x("")
print P.f_vector()

A 4-dimensional polyhedron in ZZ^4 defined as the convex hull of 10 vertices
4-d reflexive polytope in 4-d lattice M
M:11 10 N:59 24 H:50,6 [88]

(1, 10, 34, 48, 24, 1)

Lo hice en la nube de SAGE (cloud.sagemath.com). Parece que en tu comentario utilizas la función SAGE "nef_x" que se utiliza para la intersección completa Calabi-Yaus. Calcula los números de Hodge de dos cortes divisores, que en tu caso da algo bidimensional.