Estoy trabajando en un viejo examen de calificación, y parte de un problema requiere encontrar $E_t[X_{t+1}^{1 - \alpha}]$ , donde $X_{t+1}$ sigue un camino aleatorio con deriva que incluye un choque iid normalmente distribuido y un choque iid "raro-desastre" que sigue una distribución de dos puntos. El proceso se define como
\begin{equation} \ln(X_{t+1}) = \ln(X_{t}) + \delta + \epsilon_{t+1} + \eta_{t+1} \end{equation}
donde $\epsilon_{t+1} \sim N(0, \sigma^2)$ y
\begin{equation} \eta_{t+1} \sim \begin{cases} 0 & \text{with probability } e^{-\lambda} \\ -m & \text{with probability } 1 - e^{-\lambda} \end{cases} \end{equation}
Los parámetros $\alpha, \delta, \sigma, \lambda$ y $m$ son todas constantes positivas. Mi primer intento fue \begin{align} \ln(X_{t+1}) &= \ln(X_{t}) + \delta + \epsilon_{t+1} + \eta_{t+1} \\ X_{t+1} &= X_{t} e^\delta e^{\epsilon_{t+1}} e^{\eta_{t+1}} \\ X_{t+1}^{1 - \alpha} &= X_{t}^{1-\alpha} \left[ e^\delta e^{\epsilon_{t+1}} e^{\eta_{t+1}}\right]^{1 - \alpha} \\ E_t[X_{t+1}^{1 - \alpha}] &= E_t[X_{t}^{1-\alpha}] E_t[e^{\delta(1 - \alpha)}] E[(e^{\epsilon_{t+1}})^{1-\alpha}] E[(e^{\eta_{t+1}})^{1 - \alpha}] \\ &= X_{t}^{1-\alpha} e^{\delta(1 - \alpha)} E[(e^{\epsilon_{t+1}})^{1-\alpha}] E[(e^{\eta_{t+1}})^{1 - \alpha}] \\ &= X_{t}^{1-\alpha} e^{\delta(1 - \alpha)} e^{(1 - \alpha)^2 \sigma^2 / 2} E[(e^{\eta_{t+1}})^{1 - \alpha}] & e^{\epsilon_{t+1}} \sim \ln N(0, \sigma^2) \end{align}
Aquí es donde me quedé atascado. La esencia del problema es que no sé cómo calcular \begin{equation} E[(e^{\eta_{t+1}})^{1 - \alpha}] \end{equation} En general, yo piense en que \begin{equation} E[\eta^{1-\alpha}] = \Pr(\eta = -m) (-m)^{1 - \alpha} + \Pr(\eta = 0) 0^{1 - \alpha} = (1 - e^{-\lambda}) (-m)^{1 - \alpha} \end{equation} Omito el subíndice de tiempo porque $\eta$ es iid. No estoy seguro de cómo, o si, eso me ayuda a calcular $E[(e^{\eta_{t+1}})^{1 - \alpha}]$ sin embargo.
¿Estoy en el camino correcto? ¿Existe otro método (estándar) para calcular el momento o momentos de dicha distribución?
