Resolver explícitamente o por inducción: $0 \leq 2^{(n/2+10)}-2\pi n^{(3/2)}$

Question

¿Es posible resolver la siguiente ecuación explícita?

$$0 \leq 2^{(n/2+10)}-2\pi n^{(3/2)}$$

Sé que esto es correcto y la respuesta es $n \geq 0$.

También he probado la inducción en $2\pi n^{(3/2)} \leq 2^{(n/2+10)}$, pero sin éxito.

Hay otro método que consiste en tomar sucesivas derivados y mostrando está aumentando pero las ecuaciones se parecen aún más difíciles resolver.

Answer 1

Tenemos

$$0 \leq 2^{(n/2+10)}-2\pi n^{(3/2)}\iff 2^{(n/2+10)}\ge 2\pi n^{(3/2)}\iff \log(2^{(n/2+10)})\ge\log(2\pi n^{(3/2)})$$

$$\iff \frac n 2 \log 2 +10\log 2 \ge \log 2+\log \pi+\frac 32\log n\iff\log n\le\frac n 3\log 2+6\log 2-\frac23\log \pi$$

que finalmente es cierto y por inspección vemos en particular que es verdad $n=1,2,3,4$

• $n=1 \implies \log 1=0\le\frac 1 3\log 2+6\log 2-\frac23\log \pi\approx 3.63$
• $n=2 \implies \log 2\approx 0.69\le\frac 2 3\log 2+6\log 2-\frac23\log \pi\approx 3.85$
• $n=3 \implies \log 3\approx 1.10\le\frac 3 3\log 2+6\log 2-\frac23\log \pi\approx 4.10$
• $n=4 \implies \log 4\approx 1.39\le\frac 4 3\log 2+6\log 2-\frac23\log \pi\approx 4.32$

entonces considere

$$f(x)=\log x-\frac x 3 \log 2 - 6 \log 2 +\frac23 \log \pi\implies f'(x)=\frac 1x-\frac13\log 2\frac 3{\log 2}\approx 4.33$$

por lo tanto la desigualdad dada es verdadera para cualquier $n$.

Answer 2

$$2\pi n^{(3/2)} \leq 2^{(n/2+10)}$$ $$\log_2 (\pi n^{(3/2)}) \leq (n/2+9)$$ $$\log_2 (\pi)+\dfrac{3\log_2(n)}{2} \leq (n/2+9)$$ $$\log_2 (\pi)-9 \leq \dfrac{n- 3\log_2(n)}{2}$$ $$n- 3\log_2(n) \geq -14.69$$ $$3\log_2(n) - n \leq 14.69$$

Que $y=3\log_2(n)-n$

Para ver cuál es el valor máximo de la parte izquierda de la desigualdad: $$\dfrac{dy}{dn} = \dfrac{3}{n\ln(2)}-1 = 0$ $ $$n = \dfrac{3}{ln(2)},y=2.01$ $

Para comprobar si es el máximo valor de y, $$\dfrac{d^2y}{dn} = -\dfrac{ln(8)}{n^2} = -\dfrac{ln(8)}{(\dfrac{3}{\ln(2)})^2} = -0.11

$max(y) \leq 14.69$ La desigualdad sostiene para todos los valores de n.