Todo subgrupo normal es el núcleo de algún homomorfismo

Question

Está claro que el núcleo de un homomorfismo de grupo es normal, pero a menudo oigo a mi profesor mencionar que cualquier subgrupo normal es el núcleo de algún homomorfismo.

Esto me parece correcto pero no es del todo obvio para mí.

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Un pensamiento que tuve es que para cualquier subgrupo normal $N$ de $G$ podríamos definir el homomorfismo cociente $\pi:G\to G/N$ desde $G/N$ es un grupo.

Estaba imaginando que podríamos considerar $\pi^{-1}:G/N\to G$ cuyo núcleo sería entonces $N$ . Sin embargo, $\pi^{-1}$ no existe ya que $\pi$ no es una biyección en general.

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Así que mi pregunta es la siguiente: ¿existe una forma obvia de definir un homomorfismo cuyo núcleo sea un subgrupo normal arbitrario de $G$ ? ¿O depende del grupo concreto el que se pueda definir dicho homomorfismo?

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que $\pi:G\to G/N$ definido por $\pi(x)=xN$ es un homomorfismo y el $\ker \pi$ es precisamente $N$ .

Answer 2

De todos modos, si el núcleo no es trivial, ¡el homomorfismo no es inyectivo!

Estás confundiendo la inversa de un isomorfismo, y la imagen inversa de un subconjunto por un mapa. Entonces, sí, si $N$ es un subgrupo normal, es el núcleo del homomorfismo canónico : \begin{align*}\pi\colon G&\longrightarrow G/N,\\ g&\longmapsto gN. \end{align*} Sí, es cierto, $\pi^{-1}(\bar 1)=\pi^{-1}(N)=N$ .

Answer 3

Su intuición es correcta, y por desgracia, sí, $\pi^{-1}$ no es una función. ¿Podríamos de alguna manera "hacer" que lo sea?

Pues bien, una de las formas en que se suele hacer esto con las funciones "ordinarias", es tratar $f^{-1}$ para una función determinada $f: A \to B$ como no algo como esto:

$f^{-1}: B \to A$

sino que considera $f^{-1}$ como una función entre conjuntos de energía :

$f^{-1}: \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A)$

donde para un subconjunto $Y \subseteq B$ definimos $f^{-1}(Y) = X = \{x \in A: f(x) \in Y\}$ .

Aplicando este definición a $\pi^{-1}$ obtenemos:

$\pi^{-1}(e_{G/N}) = \pi^{-1}(N) = \{g \in G: \pi(g) \in N\}$

$= \{g \in G: gN = N\} = \{g \in G: ge^{-1} \in N\} = \{g \in G: g \in N\} = N$