Aplicando la transformada de Fourier para solucionar una oda.

Question

Estamos aprendiendo acerca de fourier transfrms en clase y me preguntaba acerca de resolver la siguiente Oda usando este método.

Por lo tanto, quiero resolver la ecuación de $u''(x)+u(x)=0$. Ahora, está claro que la solución es de la forma $u(x)=Acos(x)+Bsin(x)$ % todo $x\in R$donde A y B son constantes. Entonces: %#% $ de #% así que aplicando la transformada de Fourier $$u''(x)+u(x)=0$ $ $$\mathscr F (u'')+\mathscr F(u)=0$ $ $$(i \omega )^2\mathscr F (u)+\mathscr F(u)=0$ $ $$-\omega^2\mathscr F (u)+\mathscr F(u)=0$ $ $$(1-\omega^2)\mathscr F (u)=0$ $ $$\Rightarrow \mathscr F (u)=0$ $

Ahora aunque esta es una solución, no entiendo por qué este método no se puede producir la solución más general: $$\Rightarrow u=0$

Answer 1

trados directamente por ella.

Answer 2

De $(1-\omega^2)\mathscr{F}u=0$;

Esto indica que $\mathscr{F}u$ tiene que ser cero por todas partes excepto $\omega = \pm1$. Así que asumimos que existe un $a,b$ que % $ $$\mathscr{F}u = a\delta(\omega +1) +b\delta(\omega -1)$al aplicar el inverso transforma, obtienes lo que esperas.