¿Existe secuencia convergente a $0$ $\mathbb{R}$, $1$ $\mathbb{Q}_2$?

Question

¿Existe una secuencia de elementos $x_1, x_2, x_3, \ldots$ de elementos de $\mathbb{Q}$ que converge a $0$ $\mathbb{R}$ y converge a $1$ $\mathbb{Q}_2$?

Answer 1

Buscas una secuencia $(x_n)\subset\mathbb Q$ tal que $$|xn|\infty\to 0, \quad |x_n-1|_2\to 0$% $# %n\to\infty de #%.

Converge la secuencia $as $ $ $$yn=\sum{i=0}^n 2^i =2^n-1$ $-1$, así que por la continuidad de la función $\mathbb Q_2$ $f(x)=-\frac 1x$, $-1$$$x_n:= -\frac 1{y_n}\to 1$\mathbb Q_2$in $n\to\infty$ as $x_n\to 0$. Clearly $\mathbb R$.

Más generalmente, si $ in $, entonces el $f(x)= \frac {a(1+x)-b}x$ $f(y_n)\to a$ y $\mathbb R$ $b$.