Resolver para

Question

Resolver $\theta$:

$$x = \theta - \sin\theta$$

¿Trata este tipo de aislamiento de las identidades? ¿Si es así, cuáles?

Answer 1

Como se dijo en los comentarios, usted necesita algunos métodos numéricos para este tipo de trascendental ecuaciones.

Cómo podemos aproximar soluciones para obtener una estimación, por ejemplo, el método de Newton. Por ejemplo, si la solución está en el rango de $0 \leq \theta \leq \pi$, el maginficent aproximación $$\sin(\theta) \simeq \frac{16 (\pi -\theta) \theta}{5 \pi ^2-4 (\pi -\theta) \theta}\qquad \text{for} \qquad 0\leq \theta\leq\pi$$ propuesto por Mahabhaskariya de Bhaskara I, un séptimo de la India del siglo matemático (es decir, más de $1400$ años !) llevaría a la ecuación cúbica $$4\, \theta ^3-4 (x+\pi -4)\,\theta ^2+ \pi\left(4 x+5 \pi -16 \right)\,\theta-5 \pi ^2 x=0$$, que puede ser resuelto.

En la tabla de abajo, me produce algunos valores para la solución. $$\left( \begin{array}{ccc} x & \text{approximation} & \text{exact} \\ 0.0 & 0.00000 & 0.00000 \\ 0.1 & 0.84987 & 0.85375 \\ 0.2 & 1.08166 & 1.08369 \\ 0.3 & 1.24765 & 1.24852 \\ 0.4 & 1.38201 & 1.38228 \\ 0.5 & 1.49726 & 1.49730 \\ 0.6 & 1.59958 & 1.59959 \\ 0.7 & 1.69251 & 1.69259 \\ 0.8 & 1.77828 & 1.77851 \\ 0.9 & 1.85843 & 1.85881 \\ 1.0 & 1.93404 & 1.93456 \\ 1.1 & 2.00590 & 2.00655 \\ 1.2 & 2.07463 & 2.07538 \\ 1.3 & 2.14070 & 2.14151 \\ 1.4 & 2.20451 & 2.20534 \\ 1.5 & 2.26636 & 2.26717 \\ 1.6 & 2.32651 & 2.32726 \\ 1.7 & 2.38517 & 2.38584 \\ 1.8 & 2.44254 & 2.44308 \\ 1.9 & 2.49876 & 2.49915 \\ 2.0 & 2.55398 & 2.55420 \end{array} \right)$$

Otra posible vía sería la expansión de Taylor y series de reversión para obtener $$\theta=t+\frac{t^3}{60}+\frac{t^5}{1400}+\frac{t^7}{25200}+\frac{43 t^9}{17248000}+\frac{1213 t^{11}}{7207200000}+\frac{151439 t^{13}}{12713500800000}$$ where $t=\sqrt[3]{6}$