Calcular $\frac{d}{dx} \left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u\right\} $, donde $M(x) = \left(B + xA \right) ; \ M^H(x) = M(x)$

Question

<blockquote> <p><strong>Problema</strong>:</p> <p>Que $x \in \mathbb{R}$, $u \in \mathbb{C}^{n \times 1}$, $B \in \mathbb{C}^{n \times n}$, $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ y $M(x) = \left(B + xA \right) ; \ M^H(x) = M(x)$.</p> <p>Obtener\begin{align} \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u\right\} \ . \end {Alinee el}</p> </blockquote> <hr>

Answer 1

Respuesta: \begin{align} \frac{d}{dx} \left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u\right\} &= -2 \ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u \ . \end{align}

Solución:

La notación aclaración: Complejo conjugado de $u$ se denota por a $u^*$, y el conjugado transpose (o Hermitian) de $A$ se denota por a $A^H$.

He utilizado las siguientes identidades

• Seguimiento y Frobenius producto de la relación $${\rm tr}(A^H B) = A^* : B$$ or $${\rm tr}(AB) = A^H : B = (A^*)^T : B$$
• Cíclica de la propiedad de Seguimiento/Frobenius producto \begin{align} A : B C &= AC^T : B \\ &= B^T A : C \\ &= {\text{etc.}} \cr \end{align}

Así, calculamos la diferencial en primer lugar, y luego el gradiente.

En primer lugar, se calcula el diferencial de $M^{-1}(x)$, es decir, $dM^{-1}(x)$, \begin{align} & I = M(x) M^{-1}(x) \\ & \Rightarrow 0 = dM(x) M^{-1}(x) + M(x)dM^{-1}(x) \\ & \Leftrightarrow dM^{-1}(x) = -M^{-1}(x) \ \underbrace{dM(x)}_{= A dx} M^{-1}(x) = - M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ dx \ . \end{align}

Así, el diferencial de $f(x)$ lee \begin{align} df(x) &= d \left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u \right\} \\ &= d \left\{ u^* : M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u \right\} \\ &= u^* : d \left\{M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u \right\} \\ &= u^* : dM^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u + M^{-1}(x) \ A \ dM^{-1}(x) \ u \\ &= u^* : \left\{ \left[ - M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ dx \right] \ A \ M^{-1}(x) u \ + \ M^{-1}(x) \ A \ \left[ - M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ dx \right] u \right\} \\ &= -u : \left\{ \left[M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \right] \ A \ M^{-1}(x) u \ + \ M^{-1}(x) \ A \ \left[ M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \right] u \right\}^* \ dx \\ &= -\left\{ \left[M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \right] \ A \ M^{-1}(x) u \ + \ M^{-1}(x) \ A \ \left[M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \right] u \right\}^H u : \ dx \\ &= -\left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) u \ + u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) u \right\} : dx \\ &= -2\left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u \right\} : dx \end{align}

El gradiente es \begin{align} \frac{d}{dx} f(x) &= \frac{d}{dx} \left\{ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u\right\} \\ &= -2 \ u^H M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ A \ M^{-1}(x) \ u \ . \end{align}