Supongamos que $k$ es un campo que es finitamente generado como una ${\mathbb Z}$-álgebra. (Es decir, $k$ es un cociente de ${\mathbb Z}[X_1,\dots,X_n]$ $n$). ¿Sigue que $k$ es finito?
Respuestas
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Sí!
Considerar los morfismos
$f:\mathbb Z\to k$ y el ideal de $\mathfrak m=f^{-1}(0)\subset \mathbb Z$.
Desde $\mathbb Z$ es un Jacobson anillo y $(0)\subset k$ es máxima, $\mathfrak m$ es máxima, y se obtiene un morfismos $\bar f:\mathbb F_p\to k$.
Desde $k$ es finitely generado más de $\mathbb F_p$ y es un campo, es en realidad una extensión finita ("Zariski de la versión de la Nullstellensatz") y por lo tanto $k$ es (en teoría!) finito.
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Teniendo en cuenta los comentarios de abajo , tenía mejor estado de forma explícita, el teorema de la que yo he utilizado.
Teorema de
Deje $f:A\to B$ ser un finitely generadas $A$-álgebra.
Si $A$ es un Jacobson anillo, ,, a continuación, $B$ es también Jacobson y para cada ideal maximal $\mathfrak m\subset B$ el ideal $f^{-1}(\mathfrak m)\subset A$ también es máxima.
Nueva Edición
Aquí está una prueba en el estilo de la geometría algebraica, debido a Akaki Tikaradze.
Si $k$ tiene características de las $p$ podemos concluir lo anterior, el uso de Zariski.
Si $char.k=0$, los morfismos $f:\mathbb Z\to k \:$ es inyectiva, por lo $A$ no $\mathbb Z$-torsión y por lo tanto es $\mathbb Z$-plana.
Pero, a continuación, $Spec(k)\to Spec(\mathbb Z)$ está abierto (flat+finito presentación de$\implies$ abierto), es decir, $(0)\in Spec( \mathbb Z)$ está abierto. Contradicción.
(Esta prueba es absurdamente sofisticado, pero probablemente apelación al régimen de la teoría de los adictos.
Lo toman como una especie de broma...)
Uncle Philster
Puntos
1
En caso de que usted está interesado, aquí es una prueba de que también utiliza Zariski del lema, pero no difícil teoremas sobre Jacobson anillos.
Escribir $R$ para la imagen de el anillo único homomorphism $\mathbb{Z} \to k$, por lo que el $k$ es un finitely generadas $R$-álgebra y, por tanto, de un número finito de extensión de la fracción de campo de $R$ por Zariski del lexema. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que el $R = \mathbb{F}_p$, es decir $k$ ha característica positiva. Si $R = \mathbb{Z}$, lo $k$ tiene de característica cero, $k$ es un campo numérico que es un finitely generado anillo. Pero esto es imposible: si escribimos $k = \mathbb{Z}[\alpha_1,\dots,\alpha_r]$, entonces uno puede elegir $n \in \mathbb{Z}$, de modo que todos los denominadores de los coeficientes de los polinomios mínimos más de $\mathbb{Q}$ $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ brecha $n$. Esto implica que $k$ integral $\mathbb{Z}[1/n]$. A continuación, $\mathbb{Z}[1/n]$ debe ser un campo, lo cual es absurdo.
