Teorema fundamental del álgebra para dos Variables

Question

Hay una extensión para el teorema Fundamental del álgebra para dos o más variables, como en el caso de sistemas de polinomios:

$ \begin{cases} f(x, y) = 0 \ g(x, y) = 0 \end{cases} $

Para los polinomios de variable única, el teorema afirma que los polinomios de grado n implica números raíces complejas. ¿Y sobre dos o más variables, hay tal extensión? ¿Tal vez una suma de grados o el número máximo de grados de las variables?

Answer 1

Este es el teorema de Bézout. El número de soluciones es infinita o igual al producto de los grados si se cuenta con ellos en el camino correcto (algunas de las soluciones pueden ser en el infinito). Así que usted necesidad de buscar soluciones en el complejo proyectiva del plano, y algunas de las soluciones puede ser necesario contado varias veces.

Un ejemplo que muestra por qué usted necesita el plano proyectivo es $f(z,w)=w$, $g(z,w)=w-1$. A continuación, $\{f=0\}$ $\{g=0\}$ son paralelas complejo "líneas" que no se cruzan en $\mathbb{C}^2$, pero el plano proyectivo tiene "puntos en el infinito", donde las líneas paralelas se cruzan.