El cociente por acción de este grupo de matriz es$S^2$?

Question

Deje $M^{2 \times 2}_{\neq 0}$ denota el conjunto de todos los no-cero $2 \times 2$ real de las matrices. Tenga en cuenta que este conjunto contiene no invertible elementos. Por una ortogonal de la matriz, vamos a decir una matriz de $A$ tal que $AA^\top$ es un no-cero escalar múltiples de la identidad. Nota: esto es diferente a la definición habitual. Escribir $\mathrm{Orth}^{2 \times 2}$ para el conjunto de todos los reales ortogonal $2 \times 2$ matrices. Deje $\mathrm{Orth}^{2 \times 2}$ actuar en $M^{2 \times 2}_{\neq 0}$ por la izquierda de la multiplicación. Tengo una corazonada de que el cociente resultante de espacio es homeomórficos a $S^2$. Es esto correcto? Si es así, ¿cuál es la homeomorphism?

Observación. Está explicado en los comentarios que este es el mismo como tratando de encontrar $$\mathbb{RP}^3/O(2).$$ I actually think trying to find $\mathbb{RP}^3/SO(2)$ es la mejor pregunta, y creo que una suposición de orientación-preservingness estaba implícito en mi forma de pensar. Sin embargo estoy interesado en ambas preguntas.

Answer 1

Steve D comentario es correcto.

En primer lugar, su acción es la lineal acción de $O(2)$ sobre la suma de 2 de su definición de representaciones, $\Bbb R^2 \oplus \Bbb R^2$.

Ahora bien, primero, observar que si escribimos $\Bbb R^2 \oplus \Bbb R^2 = \langle 1, i\rangle \oplus \langle j, k\rangle$, $SO(2)$ actúa sobre cada uno de estos en la forma estándar, y de hecho esto nos da la inclusión $SO(2) \hookrightarrow S^3$, el pensamiento de $SO(2)$ como la unidad de los números complejos. El cociente es $S^2$, y el mapa de proyección $S^3 \to S^2$ es el de Hopf fibration.

Lo que sigue es identificar tanto su $\pm 1$ acción en el resto de la acción de $O(2)/SO(2)$. Como Steve D escribe en los comentarios, el $\pm 1$ acción en $S^2$ es trivial, como la que vive dentro de $SO(2)$ a empezar.

Escribir $A$ por la matriz diagonal $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$. Será útil escribir los elementos de $S^2$ como elementos de $\Bbb{CP}^1$. La acción dada por la matriz en cada copia de $\Bbb C$ es compleja conjugación; por lo que estamos buscando en la acción $[z:w] \mapsto [\overline z: \overline w]$. Esto tiene puntos fijos igual a$\Bbb{RP}^1$, e intercambia los dos hemisferios de $S^2$.

Por lo tanto, el cociente de su acción es $D^2$. Puede ser útil observar que podemos identificar este con $[z, 1] \subset \Bbb{CP}^1$ donde $\|z\| \leq 1$. En consecuencia, parece que una cerca-del sector global de la acción sería tomar parte superior triangular de matrices con parte superior izquierda plazo 1 y columna de la derecha $\|z\| < 1$. ($O(2)$ actúa sobre los con $\|z\| = 1$.)

Quizás sea interesante que esta $SO(2)$ acción en $S^3$ realmente hace levantar a una acción libre de un $\Bbb Z/2$-extesion de $SO(2)$. El grupo es $\text{Pin}(2) = S^1 \cup j S^1 \subset S^3$. En lugar de actuar por el complejo de conjugación en cada sumando, $j$ intercambia las dos sumandos y hace una rotación de 90 grados (lo $j^2 = -1$).