Representación de números impares.

Question

El problema pide probar: %#% $ $$2\mathbb{Z}+1={x\in\mathbb{Z}\ |\ \exists\ n\in\mathbb{N}\ s.t. |x|=\frac{d(n^2)}{d(n)}}.$ #% Dónde está la función que cuenta el número de divisores positivos de $d(n)$.

Veo que si la facturización primera de $n$, entonces el $n=p_1^{m_1}\dots p_k^{mk}$, por lo tanto reducir el problema a $d(n)=\prod{i=1}^k(m_i+1)$ $ pero no tengo ni idea de cómo proceder, por favor ayuda.

Answer 1

Si $$|x|=\prod_{i=1}^k\frac{2m_i+1}{m_i+1}\tag 1$$ entonces $$|x|\prod_{i=1}^k(m_i+1)=\prod_{i=1}^k(2m_i+1)\equiv 1\pmod 2$$ por lo tanto $x\not\equiv 0\pmod 2$, de modo que $x\equiv 1\pmod 2$, $x$ es impar.

Por el contrario, dado $x$ un entero impar, tenemos que mostrar que existe $m_i\in\Bbb N$ satisfacción $(1)$. Escribir $|x|=2^kq-1$ $n\in\Bbb N$ $2\nmid q$ y deje $a=2^k-1$. Si $m_i=(a|x|-1)/2^i$ $m_i\in\Bbb N$ $1\leq i\leq k$ y $$|x|=q\prod_{i=1}^k\frac{2m_i+1}{m_i+1}$$ y desde $q<|x|$ $q$ es impar, la afirmación de la siguiente manera por inducción en $q$.

---

Puedo obtener el valor de $a=2^k-1$ de esta manera.

Considere la posibilidad de la recurrencia $m_{i+1}=m_i/2$ e imponer $2m_1+1=a|x|$$m_k+1=aq$, de modo que $$|x|=q\prod_{i=1}^k\frac{2m_i+1}{m_i+1}$$ A continuación, $m_1=2^{k-1}m_k$ de la que podemos obtener $$a=\frac{2^k-1}{2^kq-|x|}$$ Tomando $q$ tal que $|x|=2^kq-1$ da $a=2^k-1$.

Answer 2

A continuación es un enfoque algo diferente.

---

Considerar en primer lugar, para cualquier enteros $a,\,b$,$a=\frac ab\cdot b$. Para $\frac ab$ a ser de la forma $\frac{2m+1}{m+1}$, tomamos $b=\frac{a+1}2$.

Lo que nos lleva a considerar la secuencia de $$a_0(a)=a,a_1(a)=\frac{a_0(a)+1}2,\cdots,a_{n+1}(a)=\frac{a_n(a)+1}2,\cdots.$$

Ahora, fácil de inducción muestra que $a_n(a)=\frac{a+1+2+\cdots+2^{n-1}}{2^n}=\frac{a+2^n-1}{2^n}$. Por lo tanto, si $a$ es divisible por $2^n-1$, decir $a=(2^n-1)k$,$a_n(a)=(2^n-1)\frac{k+1}{2^n}$.

Entonces, para cualquier número impar $a$, tenemos $$a=\frac{(2^n-1)a}{2^n-1}=X\cdot\frac{a_n}{2^n-1},$$ donde $X=\prod_{i=0}^{n-1}\frac{a_i}{a_{i+1}}$, $a_i=a_i((2^n-1)a)$, y la discusión anterior muestra que $\frac{a_n}{2^n-1}=\frac{a+1}{2^n}$

Podemos optar $n$ a ser el mayor $\ell$ tal que $2^\ell$ divide $a+1$. A continuación, $\frac{a+1}{2^n}$ es un entero impar, y hemos reducido de $a$ a un pequeño número impar $\frac{a+1}{2^n}$, por lo que una inducción concluye la prueba.

También, se observa que la si $a_n$ es un número entero, entonces también lo es $a_{n-1}=2a_n-1$. Esto justifica que $X$ es realmente de la forma que queremos.

---

Esta es una reescritura de la versión anterior, y parece más intuitivo espero.